¿Que función en $\mathbf{X}$ tiene gradiente $\mathbf{A} \mathbf{A}^\top \mathbf{X}(\mathbf{X}^\top \mathbf{X})^{-1} $?

Question

Aprendí de El Cookbook de la matriz que da el gradiente de la función de #% de #% %

\begin{equation} \nabla \log \text{det}(\mathbf{X}^\top \mathbf{X})=2\mathbf{X}(\mathbf{X}^\top \mathbf{X})^{-1}, \end{equation}

donde $\log \det$. Me pregunto que función le dará el gradiente

\begin{equation} 2\mathbf{A} \mathbf{A}^\top \mathbf{X}(\mathbf{X}^\top \mathbf{X})^{-1}, \end{equation}

% matriz $\mathbf{X}\in\mathbb{R}^{n\times r}$.

Answer 1

En general, no existe ninguna solución. Que sigue es un ejemplo de lucha para la existencia de $g$s.t. $\nabla(g)=2BX(X^TX)^{-1}$ para cada % de s.t. $X$% #% (donde $rank(X)=r$).

Que $B\in M_n$.

$n=2,r=1, B=\begin{pmatrix}a&b\c&d\end{pmatrix},X=[x,y]^T\not= [0,0]^T$. Por lo tanto

$\dfrac{\partial g}{\partial x}=\dfrac{2}{x^2+y^2}(ax+by),\dfrac{\partial g}{\partial y}=\dfrac{2}{x^2+y^2}(cx+dy)$.

Así $\dfrac{\partial^2 g}{\partial x \partial y}=\dfrac{2}{(x^2+y^2)^2}(b(x^2-y^2)-2axy),\dfrac{\partial^2 g}{\partial y \partial x}=\dfrac{2}{(x^2+y^2)^2}(c(y^2-x^2)-2dxy)$ existe iff $g$, $a=d,b=-c$; en particular, $B=\begin{pmatrix}a&b\-b&a\end{pmatrix}$ nunca tiene el % de forma $B$excepto cuando $AA^T$.

EDITAR. La solución general de la ecuación anterior - con las coordenadas polares de $B=0$ - es: $(r,\theta)$ constante.