Cálculo de la matriz$M^{2006}$

Question

Digamos que tienes el % de matriz $M$: $$ $$\begin{bmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{1}{\sqrt{2}}\-\frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{1}{\sqrt{2}}\end{bmatrix}$$ ¿Cómo encontrar $M^{2006}$? Mi pensamiento era que encontrará la que $M^8 = I$, por lo que si $\frac{2006}{8} = 250\frac{3}{4}$, entonces el $M^{2003} = I$, por lo que si multiplicas esto por $M$, $3$ veces, obtendrás $M^{2006}$. Sin embargo, parece haber algo mal con mi aritmética o de lo contrario no puede hacerlo con potencias de la matriz, ya que esta es la respuesta incorrecta.

La respuesta correcta es: $$ $$\begin{bmatrix}0&-1\1&0\end{bmatrix}$$

¿Cómo llego?

Answer 1

${{\left [\begin{matrix} \cos \,\phi & -\sin \,\phi \ \sin \,\phi & \cos \,\phi \ \end{matriz} \right]}^{n}}=\left [\begin{matrix} \cos \,n\phi & -\sin \ n\phi \ \sin \,n\phi & \cos \,n\phi \ \end{matriz} \right]$$que$\phi=-\frac{\pi}{4}$y$n=2006$

Answer 2

Ayuda a conocer que el conjunto de $2\times 2$ matrices reales de la forma $$ $$\begin{bmatrix}a & b \ -b & a \end{bmatrix}$$ se comportan exactamente como la $a+bi$ bajo la adición y la multiplicación de números complejos.

Por lo tanto, su $M$ corresponde a $\frac1{\sqrt2}+\frac1{\sqrt2}i$ $e^{\pi i/4}$.

El poder de th de $2006$ de esto por lo tanto corresponde a $e^{\frac{2006}{4}\pi i} = e^{\frac32\pi i} = -i$; en otras palabras $({}^0{1}\,{}^{-1}{\;0})$.

Answer 3

Tienes $M^{2000}=(M^8)^{250}=I^{250}=I$, por lo que sólo necesitará encontrar $M^6$

Answer 4

El enfoque general es derecho y un buen enfoque. Pero el problema es que el $M^{2003} \neq I$ (no sé por qué la división le hizo pensar; esperemos que usted puede encontrar allí su error). De hecho, $$M^{2003} = M^{2000 + 3} = M^{2000}M^3 = (M^8)^{250}M^3 = I^{250} M^3 = M^3.

Esto significa que usted puede modificar su enfoque: en lugar de a partir de $I \neq M^{2003}$ y multiplicar por $M^3$, puede iniciar $M^3 = M^{2003}$ y multiplicar por $M^3$.

Answer 5

$\newcommand{\ángulos}[1]{\left\langle\,{#1}\,\right\rangle} \newcommand{\llaves}[1]{\left\lbrace\,{#1}\,\right\rbrace} \newcommand{\bracks}[1]{\left\lbrack\,{#1}\,\right\rbrack} \newcommand{\dd}{\mathrm{d}} \newcommand{\ds}[1]{\displaystyle{#1}} \newcommand{\expo}[1]{\,\mathrm{e}^{#1}\,} \newcommand{\mitad}{{1 \over 2}} \newcommand{\ic}{\mathrm{i}} \newcommand{\iff}{\Leftrightarrow} \newcommand{\imp}{\Longrightarrow} \newcommand{\ol}[1]{\overline{#1}} \newcommand{\pars}[1]{\left(\,{#1}\,\right)} \newcommand{\partiald}[3][]{\frac{\partial^{#1} #2}{\parcial #3^{#1}}} \newcommand{\raíz}[2][]{\,\sqrt[#1]{\,{#2}\,}\,} \newcommand{\totald}[3][]{\frac{\mathrm{d}^{#1} #2}{\mathrm{d} #3^{#1}}} \newcommand{\verts}[1]{\left\vert\,{#1}\,\right\vert}$

$$\begin{align} M & = \pars{\begin{array}{cc} \ds{1 \over \root{2}} & \ds{1 \over \root{2}} \\ \ds{-\,{1 \over \root{2}}} & \ds{1 \over \root{2}} \end{array}} & = {1 \over \raíz{2}}\llaves{\overbrace{\pars{\begin{array}{cc} \ds{1} & \ds{0} \\ \ds{0} & \ds{1} \end{array}}}^{\ds{\sigma_{0}}} + \ic\ \overbrace{% \pars{\begin{array}{cc} \ds{0} & \ds{-\ic} \\ \ds{\ic} & \ds{0} \end{array}}}^{\ds{\sigma_{y}}}} = 2^{-1/2}\pars{\sigma_{0} + \ic\sigma_{y}} \end{align}$$

Tenga en cuenta que $$\sigma_{0}\sigma_{y} = \sigma_{y}\sigma_{0}\quad\mbox{y}\quad \sigma_{0}^{2} = \sigma_{y}^{2} = \sigma_{0}$$

tal que $$\begin{align} \exp\pars{2^{-1/2}\pars{\sigma_{0} + \ic\sigma_{y}}\lambda} & = \exp\pars{2^{-1/2}\lambda}\exp\pars{2^{-1/2}\ic\sigma_{y}\lambda} \\[3mm] & = \exp\pars{\lambda \over \root{2}}\bracks{\cos\pars{\lambda \over \root{2}} + \sin\pars{\lambda \over \root{2}}\ic\sigma_{y}} \\[3mm] & = \half\pars{1 + \sigma_{y}}\exp\pars{{1 + \ic \over \root{2}}\,\lambda} + \half\pars{1 - \sigma_{y}}\exp\pars{{1 - \ic \over \root{2}}\,\lambda} \\[3mm] & = \half\pars{1 + \sigma_{y}}\exp\pars{\expo{\pi\ic/4}\lambda} + \half\pars{1 - \sigma_{y}}\exp\pars{\expo{-\pi\ic/4}\lambda} \end{align}$$

---

$$\begin{align}\color{#f00}{M^{2006}} & = \bracks{2^{-1/2}\pars{\sigma_{0} + \ic\sigma_{y}}}^{2006} = 2006!\bracks{\lambda^{2006}} \exp\pars{\vphantom{\LARGE A}2^{-1/2}\bracks{\sigma_{0} + \ic\sigma_{y}}\lambda} \\[3mm] & = \half\,\pars{1 + \sigma_{y}}\bracks{\exp\pars{{\pi \over 4}\,\ic}}^{2006} + \half\,\pars{1 - \sigma_{y}}\bracks{\exp\pars{-\,{\pi \over 4}\,\ic}}^{2006} \\[3mm] & = \half\pars{\begin{array}{cc}\ds{1} & \ds{-\ic}\\ \ds{\ic} & \ds{1}\end{array}} \pars{-\ic} + \media\pars{\begin{array}{cc}\ds{1} & \ds{\ic}\\ \ds{-\ic} & \ds{1}\end{array}} \ic = \color{#f00}{\pars{\begin{array}{cc}\ds{0} & \ds{-1}\\ \ds{1} & \ds{0}\end{array}}} \end{align}$$