¿Qué dominios podemos otorgar al laplaciano en la esfera$\mathbb{S}^2$ como un operador cerrado ilimitado?

Question

Recordar de la teoría de armónicos esféricos en el % de esfera $\mathbb{S}^2$que $L^2(\mathbb{S}^2)$ tiene una base orthonormal de Lisa eigenfunctions $Y\ell^m$% entero$\ell,m$tal que$-\ell \le m\le\ell$,$$\Delta Y\ell^m + \ell(\ell+1)Y_\ell^m \;=\; 0

Ahora, si nos indica que $D$ el lapso de la $Y_\ell^m$, entonces sabemos que $D$ es denso en $L^2(\mathbb{S}^2)$. Pero es el operador $\overline{\Delta|_D}$ uno mismo-adjoint, donde entendemos por $\overline{\Delta|_D}$ el cierre del operador $\Delta$ definidas en $D$. Si no es así, ¿qué es precisamente el dominio $\mathcal{D}(\overline{\Delta|_D})$?

Answer 1

De hecho, sí, que la restricción de los invariantes de Laplace tiene un único auto-adjunto de extensión, que es su gráfica de cierre, como se indica. Es decir, es "esencialmente auto-adjuntos".

Esto no es obvio, y los temas son fáciles de malinterpretar, creo que, desde que, en general, un simétrica, densamente definido por el operador, que puede tener muchos auto-adjunto extensiones (o ninguno) (como parametrizadas por von Neumann).

Así que la afirmación de la identidad esencial-adjointness requiere prueba, ya que muchos naturales simétrica (densamente definido) los operadores son no esencialmente auto-adjunto. E. g., en Sturm-Liouville problemas, normalmente, hay muchos diferentes condiciones de contorno que dar un auto-adjunto del operador.

En un discreto espectro de la situación, tales como la de Riemann compacta colectores, por ejemplo, esferas, debido a $L^2$ seguramente tiene una base ortonormales que consta de las funciones lisas, es relativamente sencillo demostrar que el ser esencial-adjointness. Esto fue demostrado en la década de 1950 por M. Gaffney.

EDIT: debo destacar, sin "condiciones de contorno" (sea lo que eso puede significar más precisamente), discreta del espectro tiende a dar esencial auto-adjointness. En particular, el Sturm-Liouville escenario(s), que hacen tienen "condiciones de contorno" (sin embargo, uno puede elegir para formalizar este), no son esencialmente auto-adjunto.

Así que, sí, no hay paso peatonal a saber, en una situación dada. No es una cuestión trivial. A menudo, sí, en "natural" de situaciones físicas, hay una única extensión, etc., que es "necesario" hacer sentido matemático de diversos fenómenos físicos. Pero, tal vez con la misma frecuencia, no hay límite razonable-problemas de valor (de física de significación) que han solución diferente dependiendo de las condiciones de frontera: Dirichlet? von Neumann? etc.

Estos detalles no se patologías, pero son auténticas y significativas de las características...

El original de árbitros para von Neumman son algo así como [vonNeumann~1929] J. von Neumann, {\it Allgemeine Eigenwerttheorie Hermitescher Funktionaloperatoren}, Matemáticas. Ann. {\bf 102} (1929), 49-131.

Desde luego, hay varios post-L. Schwartz-distribuciones de las discusiones que hacer las cosas más claras, por ejemplo, G. Grubb del libro (con Springer) "la distribución y los Operadores".