Demuestra que y es impar en la ecuación $y^3 =x^2 +2$

Question

Encontré una pregunta que te pide encontrar todas las soluciones enteras $y^3 =x^2 +2$ . Para ello, primero te pide que demuestres que y es impar. ¿Qué hay que hacer para demostrarlo?

Muchas gracias

Answer 1

Supongamos que $\,y\,$ es par, entonces también $\,x\,$ debe ser par, pero entonces $\;x^2+2 \equiv 2\pmod 4\;$ y puesto que $\,y^3 \not \equiv 2 \pmod 4\;\;\forall\,y\in\Bbb Z\;$ hemos terminado.

Answer 2

Supongamos que no. Entonces $x^2=y^3-2$ Por lo tanto $x$ es par. Por lo tanto, $2=y^3-x^2$ es divisible por $2^2$ que es una contradicción.

Answer 3

Si $y=2k$ entonces $\color{brown}{x^2=}8k^3+2=\color{brown}{2(4k^3+1)}$ .
¿Es posible?

Answer 4

Si $y$ es par, $y^3\equiv0\pmod 8\equiv0\pmod 4$

Así que.., $x^2=y^3-2\equiv-2\pmod 4\equiv2$

Ahora, $0^2\equiv0\pmod 4,(\pm1)^2\equiv1, (\pm2)^2\equiv0$