1 Resuelve la ecuación en números enteros positivos.

Question

Que $x,y$ son enteros positivos. Resolver la ecuación $$x^2+x+2=2^y$ $

Mi trabajo hasta ahora:

% $ $$(2x+1)^2 + 7 = 2^{y+2}$Si $y$ es par, entonces $x=1,y=2$.

Answer 1

Las soluciones son (fuerza bruta)$$(90,13);\;(5,5);\;(2,3);\;(1,2)$ $

Logré encontrar solo la solución par$y=2$ analíticamente

Lo hice de esta manera

Resolviendo$x^2 + x + 2- 2^y=0$

discriminante es$1-4(2-2^y)=4\cdot 2^y-7$

Es un cuadrado perfecto si

$4\cdot 2^y -7=a^2$

es decir $4\cdot 2^y-a^2=7$

factoring RHS

$\left(2\cdot 2^{y/2}+a\right)\left(2\cdot 2^{y/2}-a\right)=7$

Lo que significa que$2\cdot 2^{y/2}+a=7$ y$2\cdot 2^{y/2}-a=1$

que es$a = 2\cdot 2^{y/2}-1$ y

$2\cdot 2^{y/2}+ 2\cdot 2^{y/2}-1=7$

$ 4\cdot 2^{y/2}=8\to 2^{y/2}=2\to \color{red}{y=2;\;x=1}$

Pero no sé cómo encontrar las soluciones extrañas para$y$

Espero que esto ayude