El método de "Inducción matemática" como se explica en mi libro.

Question

Estoy leyendo el libro "Un Tratado de Cálculo Avanzado", por Philip Franklin. He encontrado este libro en nuestra ciudad, la biblioteca central y gustó en la primera lectura, estoy continuando este libro como referencia. Tengo un poco de confusión en el primer tema de la"Inducción Matemática". Estoy familiarizado con la inducción matemática bastante, pero yo no podía comprender la manera en que el autor explicó.
En el enlace que he dado $-$ Después de la introducción del primer tema comienza. Se divide en $8$ pequeños párrafos. Comprendo $7$ los párrafos de estos. Tengo confusión en el $3$rd párrafo que cito aquí:

"Si cada uno de los miembros de $I$, una colección infinita de enteros positivos, es menor que, o igual a, $N$, cada número entero de la colección de $I$ es igual a algunos miembro de la colección finita $1, 2, .\ .\ . N$, Lo que hay es un conjunto finito de enteros distintos, $F$, de tal manera que cada miembro de $I$ es igual a un miembro de $F$. El mayor entero de $F$ es el mayor de $I$, por lo que el primera colección de $I$ tiene un mayor entero".

Los dos puntos que tengo problemas son como sigue:

1. Como este párrafo se sacia(offsets) el artículo entero, que es lo que es el propósito de este párrafo. En otras palabras, żcuál es la lógica proporcionada por este párrafo, la cual es necesaria para una adecuada comprensión del resto del artículo. ¿Cuál es el beneficio de asumir que $I$ tiene un mayor número entero.
2. ¿Por qué el autor asume que $I$, una colección infinita de enteros positivos, tiene un límite superior(un número más grande)? Sabemos que $I$ es un conjunto infinito de modo que cualquiera no tiene mayor entero. Por otra parte, ¿cómo podemos refutar este argumento, que no se sigue directamente de la definición de $I$ que no tiene un mayor número entero o puede ser probado de una manera matemática?

Entendí el resto de $7$ los párrafos. Yo no soy capaz de entender lo que el autor está tratando de transmitir en esta $3$rd párrafo que he citado.

Answer 1

No hemos de asumir que los elementos en $I$ son todos distintos. En esencia, este párrafo se sostiene la proposición: cualquiera limitada conjunto de enteros positivos sólo puede contener un número finito de elementos distintos, sin asumir a priori que $I$ es finito.

Esto tiene una respuesta inmediata, importante corolario de que cada delimitada conjunto de enteros positivos tiene un mayor elemento.

Todo esto es bastante intuitivo, por lo que este tipo de enfoque puede parecer innecesario. Aún así, uno podría argumentar que aclara algunas ambigüedades que pudieran surgir a lo largo de la línea. Considerar, por ejemplo, un almacén de secuencia de toma valores en $\mathbb{N}$ - el análisis anterior muestra que la secuencia sólo pueden tomar un número finito de valores. Esto es bastante inmediato, pero podría decirse que no trivial, ya que está relacionado con las propiedades de los números naturales - si consideramos un almacén de la secuencia de toma valores en $\mathbb{Q}$ o en $\mathbb{R}$, no podemos sacar la misma conclusión.

Tenga en cuenta que las nociones de mayor elemento y menos límite superior son distintos en general. (Pensemos, por ejemplo, el conjunto de $[0,1) \subset \mathbb{R}$. Esto tiene al menos un límite superior, es decir, 1, pero no tiene una mayor elemento.) El hecho de que coinciden para un finito subconjuntos de los números naturales es una declaración importante sobre la naturaleza de los números naturales, y está estrechamente relacionado con la inducción.

Un comentario que se me ocurre es que la terminología utilizada por el autor es muy sugestivo. Por un infinito conjunto, por lo general se entiende un conjunto con un número infinito de elementos distintos, como la definición de "conjunto" por lo general no se permiten elementos repetidos. Sin embargo, el autor del artículo fue cuidadoso al hablar de una infinita colección de números naturales, que no tienen la misma connotación.