Confusión sobre el campo División de $x^3-7$

Question

Me piden hallar el grado de la división de campo de la $x^3-7$ sobre los racionales.

Las raíces se $\sqrt[3] 7e^{\frac{2\pi ik}{3}},\ k=0,1,2$. Explícitamente, $$x_1=\sqrt[3] 7,\\ x_2=\sqrt[3] 7 \bigg(-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt 3}{2}\bigg),\\ x_3=\sqrt[3] 7 \bigg(-\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt 3}{2}\bigg).$$

La división de campo es una extensión que contiene todas las raíces. Veo al menos dos esencialmente diferentes posibilidades de construcción. En primer lugar, puedo lindan $\sqrt[3] 7, i,\sqrt 3$. Tal extensión se contienen todas las raíces. Por otro lado, se acuestan $\sqrt[3] 7, i\sqrt 3$. Esta extensión también contiene todas las raíces. Creo que los dos extensiones tienen diferentes grados. Entonces, ¿cómo debo de entender que el grado que debo encontrar para empezar? Qué extensión es la división de campo?

Answer 1

La división campo $K$ $x^3-7$ es $\mathbb Q(\sqrt[3]7, \omega)$, donde $\omega=-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt 3}{2}$ es una raíz cúbica primitiva de la unidad, una raíz de $x^2+x+1$. No es necesario para descomponer $\omega$ $i$ y $\sqrt 3$.

Es cierto que $L =\mathbb Q(\sqrt[3]7, i, \sqrt 3)$ contiene todas las raíces de $x^3-7$, $L$ no es el más pequeño tal campo. Es $K$.

Answer 2

Tienes $x^3-7$ y $\alpha=\sqrt [ 3 ]{ 7 }$ es una clara raíz de $x^3-7$. Entonces después de factoring y aplicando la fórmula cuadrática $($ si $)$un factores $x^3-7=(x-\alpha)(x-\alpha\zeta )(x-\alpha\zeta ^2)$ $\zeta$ Dónde está una raíz cúbica compleja de la unidad. $\zeta ^2+\zeta +1=0$ y $\zeta \notin\mathbb{R}$ por lo tanto $\notin\mathbb{Q}(\alpha)$, así dividiendo el campo tiene el grado de $3\cdot2=6$. De hecho el campo división es $\mathbb{Q}(\alpha,\zeta)$.