Composición de automorfismos exteriores con las representaciones del grupo

Question

En J. P. Serre Lineal de Representaciones de Grupos Finitos, dos representaciones de $(\rho, V)$ $(\rho', V')$ de un grupo finito $G$ son llamados isomorfos si existe una transformación lineal $T: V \to V'$ tal que $T \cdot \rho = \rho' \cdot T$. En el caso de que $V = V'$, podríamos llamar a estas representaciones isomorfos si $\rho' = T \cdot \rho \cdot T^{-1} = c_T\circ \rho$ donde $c_T$ es conjugación por $T$. Conceptualmente esto tiene sentido para mí, porque si se identifican estos dos espacios vectoriales mediante la elección de las bases, a continuación, esta definición esencialmente dice que un cambio de base, es decir, cómo escribimos las mismas transformaciones no se debe cambiar la representación.

Sin embargo, si tenemos en cuenta $k$-espacios vectoriales donde $GL_n(k)$ no trivial exterior automorfismos, es decir, automorfismos que no son de la conjugación por algún elemento, que podríamos llamar de dos representaciones $\rho, \rho':G \to GL_n(k)$ isomorfos si $\rho = \phi\circ \rho'$ cualquier $GL_n(k)$ automorphism $\phi$. Esto parece similar y un buen candidato porque también en este caso siempre podemos recuperar una representación de cualquier isomorfo copias, si sabemos lo que el isomorfismo es, y debido a que las acciones de los elementos del grupo de mantener sus relaciones bajo un isomorfismo. Un ejemplo de este tipo de exterior automorphism es compleja conjugación en $GL_2 (\mathbb{C})$; esto no es interior porque para cualquier matriz con un no-real determinante, el factor determinante de los cambios, mientras que el interior de automorfismos debe preservar determinantes.

Puedo ver que realmente no definir isomorphisms de esta manera porque si lo hiciéramos podríamos perder la singularidad de los personajes hasta el isomorfismo (al menos). Mis preguntas son las siguientes:

1. Si dos representaciones están relacionadas de esta manera (es decir,$\rho = \phi \circ \rho'$), ¿qué podemos decir acerca de ellos?

2. Si uno es irreductible, es el otro irreductible? Si es así, ¿cómo es exactamente lo exterior automorfismos actúan en el conjunto de representaciones irreducibles de una dimensión fija?

3. Podemos calcular la descomposición de una representación mediante la descomposición de los otros? Es allí cualquier agradable correspondencia?

4. Lo que hace la acción exterior de automorfismos hacer en el plano de los personajes? Puede esta acción se describe intrínsecamente en el espacio vectorial de funciones de clase?

Creo que hay un montón de otras preguntas que uno puede pedir en este set-up; cualquier comentario sobre esta situación sería bienvenido. Si hay mejores respuestas para casos similares (siempre que la pregunta tiene sentido), por ejemplo localmente compacto o reductora grupos, que sería bienvenido también.

Answer 1

Una manera en que esto puede suceder es que si el campo de tierra de un automorphism $\psi:k \to k$, esto inducirá automorfismos $\psi_n: GL_n(k) \to GL_n(k)$ cualquier $n$ que usted puede, a continuación, gire el de las representaciones.

En particular, si $K$ es un campo de extensión de $k$ entonces tenemos toda una $Gal(K:k)$ valor de tales automorfismos a torcer las cosas. Si $K = \mathbb{C}$ $k = \mathbb{R}$ esto es sólo el mapa de identidad y compleja conjugación.

Resulta que para cualquier $g \in Gal(K:k)$, podemos obtener un $k$-lineal auto-equivalencia de categorías de $Rep(G,K)$ a (el inverso es dado por $g^{-1}$). En particular, se conserva irreductibilidad, y le permite hacer coincidir las descomposiciones en consecuencia.

Por otra parte, esta equivalencia de categorías de desplazamientos con el olvidadizo functor a espacios vectoriales sobre $K$ (y su $k$-lineal auto-equivalencia inducida por $g$). En particular, esto significa que si usted torcer una representación por $g \in Gal(K:k)$ y, a continuación, tomar a los personajes es el mismo de la torsión de los valores de caracteres por $g$.