¿Conspiran modulación de fase para eliminar las variaciones de energía?

Question

Puramente fase de la señal modulada no tiene modulación de la potencia. Esto es bastante obvio si se mira la serie de tiempo, pero me gustaría "ver" en el dominio de la frecuencia.

En términos físicos, si tomamos un rayo láser y aplicar modulación de fase a través de un electro-óptica modulador y, a continuación, enviar esta viga a un fotodiodo, vamos a ver sólo un término de DC en el fotodiodo. Me gustaría trabajar cómo las bandas laterales creado por la modulación de la fase de gestionar, de conspirar para eliminar cualquier beat frecuencias.

El funcionamiento de la modulación de fase a una frecuencia $\Omega$ consiste en la multiplicación por $\exp\{i\Gamma\sin\Omega t\}$ que se ve fácilmente tener unidad de amplitud en todo momento. A través de la Jacobi-la Ira de identidad, esto se puede escribir en términos de las bandas:

$$\exp\{i\Gamma\sin\Omega t\} = \sum_{n=-\infty}^\infty J_n(\Gamma) \exp\{i n \Omega t\}$$

donde $\exp\{i n \Omega t\}$ se interpreta como la creación de una banda lateral a una frecuencia de $n\Omega$ Hz lejos de la portadora cuya amplitud está dada por la n-ésima función de Bessel $J_n(\Gamma)$ donde $\Gamma$ es la profundidad de la modulación.

Un fotodiodo se vea el módulo al cuadrado de esta señal. Podemos escribir el resultado por agrupación de términos por parte de los poderes de $\exp\{i\Omega t\}$.

Es fácil ver que la energía se conserva en la DC, debido a la relación $ 1 = \sum_{n=-\infty}^\infty |J_n(x)|^2 $.

Del mismo modo, es fácil ver que no hay señal en frecuencia $1\Omega$ sobre el fotodiodo, porque el ritmo de la $n$th banda lateral superior con el $(n-1)$st banda lateral superior siempre cancela con el ritmo de la n-ésima banda lateral inferior con el $(n-1)$st lado inferior de la banda, debido a la propiedad de las funciones de Bessel que $J_{-n}(x)=(-1)^n J_n(x)$.

Sin embargo, el mismo tipo de niza cancelación no aparece para la $2\Omega$ de la señal, debido a que las funciones de bessel siempre aparecen en los productos con dos funciones de bessel de la misma paridad, es decir,$\cdots + J_{-3}J_{-1} + J_{-2}J_0 + J_{-1}J_1 + J_0 J_2 + J_1 J_3 + \cdots$.

¿Cómo podemos demostrar que no hay compás de la señal en las frecuencias $2\Omega$ (y más)?

Answer 1

Sólo para comprobar que estamos en la misma página:

La multiplicación de una constante la amplitud de la señal compleja $s=\exp{\left(i f(t)\right)}$ por otra función compleja con amplitud constante, no le dan a una variable en el tiempo de la amplitud:

$\exp{\left(i f(t)\right)} \cdot \exp{\left(i g(t)\right)} = \exp{\left(i h(t)\right)}$

Desde $f$ $g$ son reales, $h$ es real, y $\frac{d}{dt}\left|\exp{\left(i h(t)\right)}\right| = 0$.

Estás interesado en el caso particular donde $g(t) = \Gamma \sin{(\Omega t)}$:

$\exp{\left(i f(t)\right)} \cdot \exp{\left(i \Gamma \sin{(\Omega t)}\right)} = \exp{\left(i h(t)\right)}$

De nuevo, desde el $f$ $\Gamma \sin{(\Omega t)}$ son reales, $h$ será real, y el resultado tendrá una amplitud constante.

Pero, ahora quiere ver la misma verdad en el dominio de la frecuencia.

A partir de la Jacobi-la Ira de identidad:

$\exp{\left(i \Gamma \sin{(\Omega t)}\right)} = \sum_{n=-\infty}^{\infty}J_{n}(\Gamma)\exp{\left(i n \Omega t\right)}$

Multiplicando ambos lados por su complejo conjugado:

$1 = \sum_{m=-\infty}^{\infty}\sum_{n=-\infty}^{\infty}J_{m}(\Gamma)J_{n}(\Gamma)\exp{\left(i (m-n) \Omega t\right)}$

Ahora hacemos el cambio de variables $p=(m-n)/2$, $q=(m+n)/2$:

$1 = \sum_{p=-\infty}^{\infty}\sum_{q=-\infty}^{\infty}J_{q+p}(\Gamma)J_{q-p}(\Gamma)\exp{\left(i 2p \Omega t\right)}$

Volver a escribir un poco:

$1 = \sum_{p=-\infty}^{\infty}\exp{\left(i 2p \Omega t\right)}\left(\sum_{q=-\infty}^{\infty}J_{q+p}(\Gamma)J_{q-p}(\Gamma)\right)$

Desde las exponenciales complejas son ortogonales, creo que la suma de los paréntesis tiene que desaparecer, a menos que $p$ es 0:

$\sum_{q=-\infty}^{\infty}J_{q+p}(\Gamma)J_{q-p}(\Gamma) = \delta(p)$

Me permite asumir la Jacobi-la Ira de identidad? Si es así (y si no he cometido un error), he comprobado que esta suma entre paréntesis se desvanece. Te gustaría una prueba separada, no se basa en la Jacobi-la Ira de identidad?

Descargo de responsabilidad: yo soy un físico experimental. Mis matemáticas es oxidado. Por favor, perdona y señalar algún error.