La pregunta:
Por lo tanto, dado un campo $F$, con características de $p\not=0$, se me pide, para mostrar que todas las raíces de $x^m-x$ dentro de este campo son distintos (no root tiene multiplicidad mayor que 1), donde a $m = p^n$ algunos $n$.
Mi trabajo hasta el momento:
Sé que si $F$ es un campo finito de orden $p$ que $$x^p-x=\prod_{a\in F}(x-a)$$ and this result should lead to having $$x^p-x=x(x-1)(x-2)(x-3)\cdots(x-(p-1))$$ as I believe I can form a finite subfield of $F$ out of these elements $\{1,2,3,\ldots,p-1,0\}$ (no estoy seguro de esta afirmación)
Si puedo hacer eso, entonces yo sé que $$(x^{p^k}-x)(1+x^{p^k-1}+x^{2p^k-2}+\ldots+x^{p^k\cdot p-p})=x^{p^{k+1}}-x$$ so I only need to show that $1+x^{p^k-1}+x^{2^k-2}+\ldots+x^{p^{k+1}-p}$ is irreducible or at least is not divisible by $x-$ for any $\in F$.
Me di cuenta de que si dejaba $p(x) = 1+x^{p^k-1}+x^{2p^k-2}+\ldots+x^{p^{k+1}-p}$ y asumió que era divisible por algunos $x-a$ tendríamos $$p(x)=q(x)(x-a)=xq(x)-aq(x)$$ and therefore if $$q(x) = \sum_{i=0}^{\deg q(x)}(q_ix^i)$$ we would have $p_i=q_{i-1}-aq_i$ for all $i$ (where $p_i$ is the $i^\text{th}$ coefficient in $p(x)$). From this I got that $q_0a=1$ so $q_0 = a^{-1}$ and then $q_1=a^{-2}$ and I could work my way up but I had issues figuring out how to extrapolate when I git $q_{p-1}$ and $q_{2p-2}$.
Nota:
Este problema viene de la Pregunta 14 del Capítulo 5, Sección 6, en el I. N. Herstein del Álgebra Abstracta segunda ed.
