Serie Taylor de $2xe^x$

Question

Tengo que encontrar la serie Taylor para $2xe^x$ centrado en $x=1$ . Se me ocurrió lo siguiente.

$$e^x = e^{x-1} \times e = e \bigg( \sum_{n=0}^\infty \frac{(x-1)^n}{n!}\bigg)$$

Entonces considere $2xe^x$ .

$$2xe^x = 2xe \bigg( \sum_{n=0}^\infty \frac{(x-1)^n}{n!}\bigg) = \bigg( \sum_{n=0}^\infty \frac{2xe(x-1)^n}{n!}\bigg) $$

Me pregunto si se trata de una Serie Taylor derecha centrada en $x=1$ . Entiendo que el $(x -1)^n$ implica que está centrado en $1$ . Pero, no estoy muy seguro con mi respuesta ya que hay dos términos de $x$ es decir $x$ y $(x-1)^n$ .

Cualquier aclaración y explicación será muy apreciada.

Answer 1

La expresión que tiene es correcto pero dudo que sea lo que buscan. Es decir, le gustaría tener sólo términos de $(x-1)^n$ y ninguno de $x$ (ya que de lo contrario, no está realmente "centrado" en $x=1$ ). Sería una buena solución, como sugieren los comentarios, escribir $x=(x-1)+1$ y reconstruir la serie con eso, pero una solución alternativa que es más de cálculo y hace uso del hecho de que $e^x$ es una función genial con la que multiplicar otras cosas:

En concreto $f(x)=2xe^x$ . Podemos calcular fácilmente las primeras derivadas mediante la regla del producto: $$f'(x)=2xe^x+2e^x$$ $$f''(x)=2xe^x+4e^x$$ $$f'''(x)=2xe^x+6e^x$$ y así sucesivamente - nótese que siempre tenemos un término de la forma $2xe^x$ ya que la derivada de $e^x$ es $e^x$ . En términos más generales, podríamos escribir $f'(x)=f(x)+2e^x$ para captar esta recurrencia, lo que nos permite ampliar, por ejemplo: $$f^{(n+1)}(x)=f^{(n)}(x)+\frac{d^n}{dx^n}2e^x=f^{(n)}(x)+2e^x$$ lo que significa que, para cada derivada, simplemente añadimos un nuevo término de la forma $2e^x$ . Por lo tanto, obtenemos, en forma cerrada, que: $$f^{(n)}(x)=2xe^x + 2ne^x$$ y esto es trivial de evaluar y utilizar para hacer una serie de Taylor.

Answer 2

Primero escriba las series de Taylor para $2xe^x$ centrado en $x=0$ .

$$2xe^x=2x \cdot \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{2x^{n+1}}{n!}$$

Ahora pon $x=t-1$ lo has hecho:

$$2(t-1)e^{t-1}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{2(t-1)^{n+1}}{n!}$$

Pero $2(t-1)e^{t-1}=e^{-1}2te^{t}-e^{-1}2e^{t}$ y tienes la expansión de Taylor para $e^{-1}2e^{t}$ en $t=1$ así que..:

$$e^{-1}2te^{t}-e^{-1}2e^{t}=e^{-1}2e^{t}- \sum_{n=0}^\infty \frac{(t-1)^n}{n!}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{2(t-1)^{n+1}}{n!}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2(t-1)^{n}}{(n-1)!}$$

Por fin:

$$e^{-1}2e^{t}=\sum_{n=0}^\infty \frac{(t-1)^n}{n!}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2(t-1)^{n}}{(n-1)!}$$

Answer 3

Tu primera intuición es válida, puedes reescribir la exponencial como $e^x=e\cdot e^{x-1}$ . Pero entonces también debe transformar el factor $2x$ utilizando $2x=2(x-1)+2$ .

Entonces,

$$2xe^x=(2(x-1)+2)e\sum_{n=0}^\infty \frac{(x-1)^n}{n!} \\=2e\sum_{n=0}^\infty \frac{(x-1)^{n+1}}{n!}+2e\sum_{n=0}^\infty \frac{(x-1)^{n}}{n!} \\=2e\sum_{n=1}^\infty \frac{(x-1)^{n}}{(n-1)!}+2e\sum_{n=0}^\infty \frac{(x-1)^{n}}{n!} \\=2e+2e\sum_{n=1}^\infty \frac{(n+1)}{n!}(x-1)^{n}.$$

Answer 4

Escriba a $2xe^x=2(x-1)e^x+2e^x$ y $e^x=e\cdot e^{x-1}$ para obtener $2xe^x=2e(x-1)e^{x-1}+2e\cdot e^{x-1}$ . Desde $$ e^{x-1}=\sum_{k=0}^\infty\frac{1}{k!}(x-1)^k, $$ tenemos \begin{align*} 2xe^x&=2e(x-1)e^{x-1}+2e\cdot e^{x-1} \\ &= 2e(x-1)\sum_{k=0}^\infty\frac{1}{k!}(x-1)^k+2e \sum_{k=0}^\infty\frac{1}{k!}(x-1)^k \\ &= 2e\left(\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{(k-1)!}(x-1)^k+\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{k!}(x-1)^k+1\right) \\ &= 2e\left(1+\sum_{k=1}^\infty\left(\frac{1}{(k-1)!}+\frac{1}{k!}\right)(x-1)^k\right) \\ &= 2e\sum_{k=0}^\infty\frac{k+1}{k!}(x-1)^k. \end{align*}

Answer 5

A la manera clásica: $$\begin{align}&f(x)=2xe^x,&f(1)=2e \\&f'(x)=2e^x+2xe^x,&f'(1)=4e \\&f''(x)=2e^x+2e^x+2xe^x=4e^x+2xe^x,&f''(1)=6e \\&f'''(x)=4e^x+2e^x+2xe^x=6e^x+2xe^x,&f'''(1)=8e\end{align}$$ $$...$$ En términos más generales, $$f^{(n)}(1)=2(n+1)e,$$ y $$2xe^x=2e\sum_{n=0}^\infty\frac{n+1}{n!}(x-1)^n.$$