Rango de una matriz $A^2$ sin calcular la Plaza

Question

Tengo una matriz de

$A =\begin{bmatrix} 2 & 0 & 4\ 1 & -1 & 3\ 2 & 1 & 3 \end{bmatrix} $ con rango 2. Cómo pruebo que el % de matriz $A^2$también tiene fila 2 sin calcular en la realidad $A^2$.

Sé que $rank(AB)\leq min(rank(A), rank(B))$, y así $rank(A^2) \leq 2$, pero todavía no tengo suficiente información.

¡Gracias!

Answer 1

Si usted ha demostrado que el $\operatorname{null}(A) \cap \operatorname{column}(A) = { 0 }$, entonces

$$A^2v = A(Av) = 0 \ \Longleftrightarrow \ Av = 0$$

Es decir $\operatorname{null}(A) = \operatorname{null}(A^2)$ y $\operatorname{nullity}(A) = \operatorname{nullity}(A^2)$.

Sigue ahora como $\dim(\mathbb{R}^3) = \operatorname{rank}(A) + \operatorname{nullity}(A) = \operatorname{rank}(A^2) + \operatorname{nullity}(A^2) $, $$\operatorname{rank}(A) = \operatorname{rank}(A^2)$ $

Answer 2

Podemos probar en general, que si $\operatorname{null}(A)\cap \operatorname{col}(A)=\{0\}$,$\operatorname{rank}(A^2) = \operatorname{rank}(A)$. Podemos hacerlo de la siguiente manera:

Deje $v_1,\dots,v_k$ ser una base para el núcleo de $A$. Extender a una base $v_1,\dots,v_n$$\Bbb R^n$.

Reclamo: los vectores $A^2(v_{k+1}),\dots,A^2(v_{n})$ forman una base del espacio columna de a $A^2$.

La prueba: la prueba! Es fácil mostrar que estos vectores lapso de la columna de espacio; el truco es para demostrar que ellos también son linealmente independientes. Deja un comentario si te quedas atascado y te voy a dar otro prod.

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Como alternativa, utilice la clasificación de nulidad teorema como la otra respuesta sugiere

Answer 3

En primer lugar, el núcleo de $$A=\begin{bmatrix} 2 & 0 & 4\\ 1 & -1 & 3\\ 2 & 1 & 3 \end{bmatrix} $$ es generado por $(2,-1,-1)^t$.

Ahora quieres saber el número de soluciones de $$\begin{bmatrix} 2 & 0 & 4\\ 1 & -1 & 3\\ 2 & 1 & 3 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x\\ y\\ z \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 2\\ -1\\ -1 \end{bmatrix} $$ Si no hay solución, el rango de $A^2$ es el mismo de el rango de $A$, es decir 2, si hay un $1-$dimensiones del espacio de solución, a continuación, el rango de $A^2$$1$. Dado que el rango de $$\begin{bmatrix} 2 & 0 & 4& 2\\ 1 & -1 & 3&-1\\ 2 & 1 & 3&-1 \end{bmatrix}$$ es $3$, el sistema no tiene solución, por lo que el rango de $A^2$$2$.

De esta manera usted no necesita computar $A^2$, aunque probablemente sería más sencillo hacerlo.

Answer 4

¿en tu comentario dices que han demostrado $image(A) \cup null(A) = {0}.$ % que $null(A) = null(A^2)$que a su vez por el teorema de nulidad implica $image(A) = image(A^2).$ por lo que el rango de $A$ y rango de $A^2$ equivalen a $2.$ lo que soy me falta?