Existencia de momentos y poco a poco diferente función en el infinito

Question

Tengo un poco avanzado de la cuestión de la participación de la función de la lentitud diferentes funciones y su relación con los momentos. Quiero usar para obtener ciertos resultados por dominios de atracción.

Mi problema es el siguiente.

Deje $L(x) = E[Y^2; |Y|\le x] $ y se supone que L(x) es poco a poco variando a $\infty. $ Esto significa que para cualquier $t > 0, $ hemos

$$ \lim_{x\to \infty} \frac{L(tx)}{L(x)} = 1. $$

Fix $p\in [0, 2). $ puedo demostrar (es algo de trabajo, pero no una de las principales tareas) que $$ \lim_{x\to\infty} \frac{x^{2-p}E[|Y|^p; |Y|>x]}{L(x)} = 0 \hskip 10pt (*) $$

Me gustaría probar ese $E[|Y|^p] < \infty $ $p \in [0, 2). $

Soy consciente de que hay ciertos teoremas (Karamata tipo de teoremas) que el uso de los argumentos relacionados con la supervivencia de la función $G(x) = Pr[Y> x] = 1-F(x) $ variando lentamente hasta el infinito para derivar la existencia de ciertos momentos. Pero, me pregunto si lo sé, es decir, (*), es suficiente.

Mi línea de ataque es la manera tradicional, es decir, $$E[|Y|^p] = E[|Y|^p; |Y|\le x] + E[|Y|^p; |Y|>x] $$ Ahora, el primer término en el lado derecho está claramente delimitado y tenía la esperanza de utilizar lo que he aprendido anterior para demostrar que también el segundo término en el lado derecho es acotado, pero me parece que en algunos problemas. Por ejemplo, podría utilizar (*), y escribir $$ E[|Y|^p; |Y|>x] = x^{2-p}E[|Y|^p; |Y|>x]/L(x) \cdot \frac{L(x)}{x^{2-p}}. $$ El primer término de la derecha va a 0 $x \to \infty, $ sin embargo, tengo una $\frac{\infty}{\infty} $ problema en el segundo término. Me estoy acercando a la cuestión de la forma equivocada o me estoy perdiendo algo?

Como de costumbre gracias a quien pueda chip en algunas palabras de sabiduría.

Maurice

Answer 1

El hecho de que $Y$ pertenece a cada una de las $\mathbb L^p$ $p<2$ puede deducir directamente. Utilizando la definición de una lenta variación de la función, tenemos que para $n$ lo suficientemente grande, $L(2^{n+1})/L(2^n)\leqslant 3/2$. Como consecuencia de ello, $$2^{2n}\mu\left\{2^n<|Y|\leqslant 2^{n+1}\right\} \leqslant \mathbb E\left[Y^2;2^n<|Y|\leqslant 2^{n+1} \right]\leqslant\frac{L(2^n)}2.$$ A la conclusión de que la $Y$ pertenece a $\mathbb L^p$ por cada $p<2$, tenemos que probar la convergencia de la serie $\sum_{n\geqslant 1}2^{(p-2)n}L(2^n)$ por cada $p\lt 2$. Esto se puede hacer fácilmente mediante la prueba de razón, dándose cuenta de que $L(2^{n+1})/L(2^n)\to 1$.

También podemos concluir por un (*) en la apertura de correos con el hecho de que para cada uno positivo $\delta$, $L(x)x^{-\delta}\to 0$ como $x$$+\infty$. De hecho, para cada uno positivo $t$, $$\sup_{2^n\leqslant x\lt 2^{n+1}} L(x)/x^\delta\leqslant L(2^{n+1})2^{-n\delta}$$
la serie de la $\sum_nL(2^{n+1})2^{-n\delta}$ converge por el coeficiente de prueba (aquí utilizamos el hecho de que $L$ es no decreciente, pero en general, podemos utilizar el hecho de que $$\lim_{t\to\infty}\frac{\sup_{t\leqslant s\lt 2t }L(s)}{\inf_{t\leqslant s\lt 2t }L(s)}=1).$$