Por lo que he oído que usted puede tomar una matriz A la potencia 2, llevarlo a un-3 energía y multiplicar por un número irracional. También puede hacer otras cosas no intuitivos como dar e a la potencia de una matriz.
¿Existe alguna definición para tener una matriz de nxn a una potencia como 2.3 o pi?
Tipo de.
En primer lugar, tenemos que preguntarnos, ¿que $f(x) = a^x$ $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ donde $a \in \mathbb{R}$ es una constante. Suponiendo que $a > 0$, podemos escribir: $$ f(x) = a^x = \left( e^{\ln(a)}\right) ^x = e^{(\ln a)x}, $$ así que todo se reduce a tener un razonable definición de la natural exponencial y logaritmo funciones.
La función exponencial puede ser definido por su serie de Maclaurin: $$ e^x = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \tfrac{1}{2}x^2 + \tfrac{1}{6}x^3 + \cdots $$
Uno tiene que, por supuesto, comprobar que esta serie infinita converge para cada $x \in \mathbb{R}$ para esta definición a tener sentido.
La misma serie puede ser usado para definir la matriz de la función exponencial, la interpretación de $x$ ahora como un $n \times n$ matriz. (También converge para todas las matrices.)
Pero, aquí la analogía comienza a desmoronarse.
Primero de todos, el logaritmo de la matriz es mucho más meticuloso de la criatura. El estándar de Mercator de la serie para el logaritmo no convergen para todas las matrices. Incluso si ampliamos nuestro campo de tierra a los números complejos, entonces una matriz tiene un logaritmo si y sólo si a es invertible. Incluso cuando un logaritmo existe, no es la única!
Nunca he pensado acerca de esta pregunta, pero qué acerca de los siguientes. Recordemos que $a^b=e^{b \ln(a)}$. Definir el registro de una matriz A como una matriz B tal que $e^B=A$. Esto existe, permitiendo a números complejos, iff A es inversible.
También hay que recordar que podemos definir $e^A = \displaystyle \sum{k=0}^\infty \frac{1}{k!} A^k$. Qué sobre la definición de $A^{2.3} = e^{2.3 \ln{A}} = \displaystyle \sum{k=0}^\infty \frac{1}{k!} (2.3 \ln(A))^k$ que converge iff $A$ es invertible.
Cuando la potencia es un número racional, como $1/2$, usted podría estar refiriéndose a toda una familia de matrices. Por ejemplo, $I^{1/2}$ podría ser interpretado como la de todas las matrices de $A$ tal que $A^2=I$. hay un montón de estos: cualquier reflexión va a hacer.
En general $B^{m/n}$ podría significar el conjunto de todas las matrices de $A$ tal que $A^n=B^m$.
Este uso no es infrecuente, por lo que si usted adopta @Josh, @Greg, y @Sammy (Hola Sammy!) significado definitivo para $B^q$, entonces es bueno ser conscientes de la utilización de otro tipo.
A mí (con la ventaja de gran retrospectiva), la forma más natural para definir $A^\beta$ donde $\beta$ es un no-entero número real es definir $$ A^\beta = e^{\beta\log}. $$ Aquí $\log A$ es el logaritmo de la matriz $A$ (que existe siempre $A$ es invertible), y $e^C$ es la exponencial de la matriz $C$ (que siempre existe).
I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.
