Prueba: $C(X×Y)=C(X)⊗C(Y)$

Question

Dónde puedo encontrar la demostración del siguiente teorema:

Dejemos que $X$ y $Y$ sean espacios compactos de Hausdorff, $C(X)$ y $C(Y)$ el espacio de las funciones continuas sobre $X$ y $Y$ respectivamente, entonces tenemos $C(X×Y)=C(X)C(Y)$ .

Answer 1

Supongo que por $A \otimes B$ te refieres a la producto tensorial máximo de dos álgebras C* $A,B$ (que es una terminación del producto tensorial de los espacios vectoriales subyacentes). Limitémonos al caso unital. Entonces hay homomorfismos de las álgebras C* $\iota_A : A \to A \otimes B$ , $a \mapsto a \otimes 1$ y $\iota_B : B \to A \otimes B$ , $b \mapsto 1 \otimes b$ que conmutan (es decir $\iota_A(a)$ se desplaza con $\iota_B(b)$ por cada $a \in A$ , $b \in B$ ), y estos son universales con respecto a esta propiedad: Si $f : A \to C$ y $g : B \to C$ son homomorfismos de unital $C^*$ -que conmutan, entonces hay un único homomorfismo $h : A \otimes B \to C$ de unital $C^*$ -tales que $h \circ \iota_A = f$ y $h \circ {\iota_B} = g$ .

De ello se deduce que si $A,B$ son conmutativos, entonces también $A \otimes B$ es conmutativo, y es el coproducto de $A$ y $B$ en la categoría de álgebras C* unitales conmutativas.

La categoría de los espacios compactos de Hausdorff es equivalente al dual de la categoría de las álgebras C* unitales conmutativas - a través del functor dado por $X \mapsto C(X)$ en los objetos y por $f \mapsto f^*$ sobre morfismos ( Teorema conmutativo de Gelfand-Naimark ). Toda equivalencia de categorías preserva los productos, y los productos en una categoría dual corresponden a los coproductos. Esto demuestra que $C(X \times Y) \cong C(X) \otimes C(Y)$

Answer 2

Las respuestas de Martin Brandenburg dan una prueba categórica utilizando toda la fuerza de Gelfand--Naimark.

También se podría intentar demostrar esto de forma más directa (utilizando algunos de los ingredientes que entran en la prueba de Gelfand--Naimark).

Hay un morfismo obvio $C(X)\otimes C(Y) \to C(X\times Y).$ (Aquí sólo me refiero al producto tensorial habitual.) Ahora el teorema de aproximación de Stone--Weierstrass mostrará que esto tiene imagen densa, y por lo tanto que el mapa del producto tensorial completado $C(X) \widehat{\otimes} C(Y) \to C(X\times Y)$ es suryente. [Añadido: en realidad, incluso esta subjetividad no está clara, como señala Martin Brandenburg en un comentario]. señala en un comentario].

Demostrar que se obtiene un isomorfismo llevará un poco más de trabajo.

---

Otro enfoque sería mostrar que el mapa natural $C(X) \widehat{\otimes} V \to C(X,V)$ (continuo) $V$ -) es un isomorfismo para alguna clase de espacios de Banach $V$ y aplicarlo con $V = C(Y)$ y luego usar que $C(X,C(Y)) = C(X\times Y).$ Sin embargo, no estoy seguro de cómo seguro de que esta fórmula sea válida en general. (No veo por qué no sería válida para arbitraria $V$ pero no he pensado mucho en ello, y mi experiencia con este tipo de tipo de pregunta viene de la $p$ -contexto de la vida cotidiana, donde las cosas son normalmente más fáciles).

Answer 3

Este teorema es sencillo si se entienden bien las definiciones de "compacto" y "continuo". Sólo tienes que buscarlas en tu libro de topología o análisis y demostrarlo por la definición.