Comparar la transformada de Fourier y la de Laplace

Question

Me gustaría aclarar la principal diferencia entre las transformadas de Fourier y de Laplace y también entender si el factor exponencial es la principal diferencia entre estos dos métodos. Así que la transformada de Fourier es la siguiente $$F(\omega)=\int\limits_{-\infty}^\infty f(t)e^{-j\omega t}\mathrm dt$$

y la transformada de Laplace es la siguiente

$$F(s)=\int\limits_{-\infty}^\infty f(t)e^{-st}\mathrm dt$$ donde $s=\alpha+j\omega$ .

Vamos a esta notación, no puedo imprimir los símbolos exactamente, pero si ponemos en la ecuación de Laplace, vamos a obtener que debido a

$e^{-a-j\omega}=e^{-a}*e^{-j\omega}$ .

Obtenemos que en la primera función integral $f(t)$ se multiplica por el factor $e^{-at}$ si ponemos la notación de $s$ en la integral de Laplace y también la multiplicamos por $t$ que, por supuesto, sería alguna otra función real, por ejemplo $M(t)$ y de nuevo se volvería a la transformada de Fourier de este $M(t)$ función . Así que vamos a hacerlo más detallado.En la transformada de Fourier tenemos $e^{-j\omega t}$ en Laplace tenemos $e^{-st}$ donde de nuevo $s=\alpha+j\omega$ .

Si ponemos esto en Laplace, obtenemos

$f(t)e^{-\alpha t-j\omega t}$

que podemos escribir como

$(f(t)e^{-\alpha t})e^{-j\omega t}$ ,

pero el primero es real, ¿no? Y de nuevo obtenemos la transformada real de la función, o podemos asignar $(f(t)e^{-\alpha t})=M(t)$ .

Necesito aclarar la principal diferencia entre estas dos transformaciones.

Answer 1

Laplace es la transformada de Fourier generalizada. Se utiliza para realizar el análisis de la transformada de sistemas inestables. En pocas palabras, Laplace tiene más convergencia en comparación con Fourier.

Answer 2

La convergencia de la transformada de Laplace es mucho menos delicada debido a su núcleo de decaimiento exponencial exp(-st), Re(s)>0. La transformada de Laplace es una función analítica de la variable compleja y podemos estudiarla con el conocimiento de la variable compleja. Además, Laplace sólo está definida para el eje positivo de los reales.

Answer 3

también puede considerar $\omega \in \mathbb{C}$ y hablar de una tranformación de Fourier "generalizada", que converge en el dominio apropiado de $Im(\omega)$ , normalmente una "franja" paralela al eje real. Puede consultar Lukacs 1970, T. 7.1.1 o Titchmarsh, E.C. (1975): Introduction to the Theory of Fourier Integrals, Oxford University Press. Reimpresión de la segunda edición de 1948.

Answer 4

La transformada de Fourier se utiliza para resolver los problemas en la línea real, mientras que la transformada de Laplace se utiliza para resolver los problemas en el plano complejo.