La expansión de Taylor de $\frac{1}{1-D}$ , donde $D$ es el operador diferencial

Question

Entiendo que podemos representar $e^D$ simplemente como una serie de potencias de D. ¿Pero qué pasa con las funciones de D que no son enteras en el plano complejo? ¿Qué pasa si la función no tiene expansión de Taylor, o si sólo es válida en una región determinada?

Un ejemplo interesante para mí es $\frac{1}{1-D}$ . La expansión de Taylor para esta función es válida para $|D|<1$ que no tiene sentido.

Si intentara aplicar la expansión de taylor de esta función y luego aplicar $(1-D)$ sobre el resultado, obtendría efectivamente la función original, indicando que la serie de potencias era válida, lo que me lleva a creer que $|D|$ es efectivamente inferior a 1.

¿Qué significa todo esto, qué estoy interpretando mal?

Answer 1

Hay que especificar un espacio de funciones (o algún espacio lineal, si no se interpretan los elementos como funciones) en el que $D$ actúa, y alguna topología con respecto a la cual $\sum D^n f$ puede converger, o no converger, a un elemento del espacio. Por ejemplo, la serie $(1-D)^{-1}$ interpretado como una serie de potencias, siempre converge y da un resultado significativo cuando se aplica al espacio vectorial de polinomios en una variable.

Su cálculo muestra que, si la suma converge en algún sentido especificado, aplicando $(1-D)$ a ello se recupera $f$ .