Ayuda a las ecuaciones diferenciales

Question

Necesito responder a la siguiente pregunta

Supongamos que todos los flujos de caja de este problema se producen de forma continua, en lugar de sólo en momentos discretos. Suponga que sus padres depositan dinero en su cuenta bancaria al tasa de \$50 a day. You start out with \$ 3.000 en su cuenta. También gasta a un ritmo del 5% de su dinero por día. Su cuenta es una cuenta corriente sin intereses interés. Escribe una ecuación diferencial para la cantidad de dinero en tu cuenta como función del tiempo y resuelva la ecuación. Encuentra también una solución de equilibrio.

Tengo problemas para escribir una ecuación diferencial que represente la situación, todo lo demás lo puedo hacer

Answer 1

Bien, digamos que 1 unidad de tiempo $t$ es de 1 día. Y representamos $y$ como la cantidad de dinero en la cuenta bancaria.

Por lo tanto, la tasa a la que se gana dinero sólo viene dada por la ecuación diferencial: $$\frac{dy}{dt}=50$$ Ahora, el ritmo al que se perderá estrictamente (el 5% se gasta al día) vendrá dado por: $$\frac{dy}{dt}=-0.05y$$ Tenga en cuenta que es negativo, ya que estamos perdiendo dinero.

Así, combinando los dos tipos, la ecuación diferencial resultante es: $$\boxed{\frac{dy}{dt}=50-0.05y}$$ Con la condición inicial $y(0)=3000$ .

Answer 2

Que la cantidad de dinero en la cuenta en el momento $t$ sea $y(t)$ . Su $y(t)$ cambios debidos al gasto, $y'(t)=-0.05y(t)$ y debido a la adición, $y'(t)=50$ . Dependiendo de cómo se piense si el dinero se suma y luego se gasta o al revés, se tiene $y'(t)=(y(t)+50)\frac{19}{20}-y(t)$ o $y'(t)=y(t)\frac{19}{20}+50-y(t)$ . En cualquier caso, la ecuación es $y'(t)+\frac{1}{20}y(t)=z$ , en el que $z=50$ o $z=50\frac{19}{20}$ . En cualquier caso, la condición inicial es $y(0)=3000$ .

Cómo se resuelve $y'(t)-\frac{1}{20}y(t)=z$ ? Utilizando factor integrador $\exp{(\tfrac{1}{20}t)}$ se obtiene $$\begin{aligned} y'(t)+\frac{1}{20}y(t)&=z\\ \exp{(\tfrac{1}{20}t)}y'(t)+\exp{(\tfrac{1}{20}t)}\tfrac{1}{20}y(t)&=z\exp{(\tfrac{1}{20}t)}\\ \left(\exp{(\tfrac{1}{20}t)}y(t)\right)'&=z\exp{(\tfrac{1}{20}t)}\\ \exp{(\tfrac{1}{20}t)}y(t)+k&=20z\exp{(\tfrac{1}{20}t)}+c\\ y(t)&=20z+c\exp{(-\tfrac{1}{20}t)}\\ \end{aligned}$$ y $c$ está determinada por la condición inicial $y(0)=20z+c$ .