Espacio métrico y funciones uniformemente continuas

Question

Encuentra un conjunto no acotado $A$ tal que cada función de $A$ a un espacio métrico sea uniformemente continua.

No se me ocurre nada para este problema. Solo he estado revisando las definiciones en wiki y no estoy seguro de cómo proceder aquí.

Answer 1

Comenzaremos analizando algunos tipos particulares de funciones que deben ser (uniformemente) continuas para ayudar a determinar propiedades de un conjunto $A \subseteq \mathbb{R}$.

• Primero, nota que para cada $x_0 \in A$ la función $f_{x_0} : A \to \mathbb{R}$ definida por $$f_{x_0} ( x ) = \begin{cases}1,&\text{si }x = x_0\\0,&\text{si }x \neq x_0\end{cases}$$ debe ser continua (olvidando la parte uniformemente por el momento). Entonces, $f_{x_0}^{-1} [ (\frac{1}{2} , \frac{3}{2} ) ] = \{ x_0 \}$ debe ser un subconjunto abierto de $A$, lo que nos dice que $x_0$ es un punto aislado de $A.

  Así que cada punto de $A$ debe ser aislado, lo que significa que $A$ es un subespacio discreto de $\mathbb{R}$.

• Ahora supongamos que $A$ tiene un punto de acumulación $y$ (que por lo anterior no puede pertenecer a $A$). Entonces, debe haber una secuencia biyectiva $\langle x_n \rangle_{n=0}^\infty$ en $A$ que converge a $y$. Nota que la función $f : A \to \mathbb{R}$ definida por $$f(x) = \begin{cases} 0, &\text{si }x = x_{2n}\text{ para algún }n\\ 1, &\text{en otro caso} \end{cases}$$ es uniformemente continua. Entonces, existe un $\delta > 0$ tal que $| f(x) - f(x^\prime) | < \frac{1}{2}$ cuando $|x-x^\prime| < \delta$. Dado que la secuencia $\langle x_n \rangle_{n=0}^\infty$ es de Cauchy, existe un $N$ tal que $| x_n - x_m | < \delta$ para todos los $n,m > 0$, y en particular $| x_N - x_{N+1} | < \delta$. Pero nota que $| f(x_N) - f(x_{N+1}) | = 1$

  Por lo tanto, $A$ no tiene puntos de acumulación, y en particular $A$ es cerrado.

No debería ser muy difícil demostrar que un familiar subconjunto no acotado, cerrado y discreto de $\mathbb{R}$ (por ejemplo, $\mathbb{Z}$) realmente funciona.