Si un anillo polinomial tiene un divisor cero, entonces el anillo tiene un divisor cero

Question

Esto fue pedido aquí: divisor de Cero en a $R[x]$

Pero lo que yo estoy preguntando es:

Si $f(x)=a_0+a_1x+\cdots+a_nx^n$ es un divisor de cero en a $R[x]$, no todos los $a_i$ un divisor de cero en a $R$?

Deje $q(x)f(x)=0$. Entonces claramente $a_0q_0=0$. Por lo $a_0$ es un divisor de cero. Se supone que esto es el caso para todos los $a_i$$i\leq n-1$. Escribir $p_i$ para el no-cero elementos que $p_ia_i=0$ y definen $A=p_0p_1...p_{n-1}$. Desde $a_0q_{n}+a_1q_{n-1}+...+a_{n-1}q_1+a_nq_0=0$ (el coeficiente del término $x^n$) multiplicando ambos lados por $A$ da $Aq_0a_n=0$. Desde $Aq_0$ es distinto de cero, $a_n$ es un divisor de cero.

Es esto correcto?

Answer 1

Hay una falla en tu prueba.

Por ejemplo, si toma$R=\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$ y$f(x)=2x^2 +2x + 2$, en el tercer paso de la prueba que tiene$A= 2\cdot 2 = 0$, entonces está multiplicando por$0$.

Para la solución puedes leer esto .