Grupo de homología local: un Homeomorfismo lleva el límite de la frontera

Question

Deje $X \subset \mathbb{R}^{n}$ ser el subespacio $\{ x_{1},...,x_{n} \mid x_{n}\geq 0 \}$, y deje $Y$ es el subespacio con $x_{n}=0$.

1. Deje $x\in Y$, calcular la homología local de $X$$x$.

2. Demostrar que cualquier homeomorphism $h:X\to X$ debe tomar $Y$$Y$.

Para la parte 1, yo sé que si puedo encontrar una cerrada contráctiles barrio de $x$, y el límite de $N$ es $B$, $B$ es la deformación de retracción de $N-{x}$ $H_{n}=H_{n-1}(B)$ el segundo me refiero a la reducción de la homología de grupo.

Pero desde $x$ está en el límite de $X$, así que me pregunto si puedo usar este, y para el caso más fácil, que consideramos la mitad superior del plano y un punto en el $X$-eje , entonces el complemento de un punto es contráctiles, así que creo que la homología grupo debe ser$\mathbb{Z}$$n=0$, e $0$ lo contrario. Pero no estoy seguro de si eso es correcto y todavía quiero los detalles que puedo usar para resolver esta parte 1.

Para la parte 2, $Y$ está conectado subconjunto compacto, por lo que el homeomorphism conserva la imagen de $Y$ a los conectados y compacto subconjunto, si la imagen de $Y$ no $Y$, entonces podemos escoger un punto en $X$ que no está en el límite de $X$, en el local de la homología de $X$ $x$ $f(x)$ son diferentes, contradice. Me pregunto si este es el método correcto.

Answer 1

Sí, usted tiene la idea correcta, pero parece confundirse con algunas definiciones. La prueba es como sigue: Denotar por $X$ euclidianas la mitad de espacio de dimensión $n$ y $Y$ de sus límites. Usted puede encontrar útil este lema, que es una consecuencia directa del teorema de la escisión

Lema. Deje $A\subset X$. Si $A$ contiene una vecindad del punto de $x\in X$ $$ H_p(X,X - x) \cong H_p(a,a - x) $$

Así que ahora vamos a probar algo más fuerte que el de la parte a), que le ayudará a obtener la parte b) como se quería.

La proposición. Deje $x\in X$ $$ H_i(X,X - x) = \begin{cases} \mathbb{Z} & \text{if } x\notin Y \text{ and } i=n\\ 0 & \text{otherwise} \end{casos} $$

Prueba. Supongamos que $x\notin Y$, entonces podemos encontrar un vecindario $U$ $x$ homeomórficos a $\mathbb{R}^n$ y por el lema anterior tenemos que $$H_i(X,X - x) \cong H_i(\mathbb{R}^n,\mathbb{R}^n - x) \cong H_i(B^n,B^n - x)$$ Usando ese $S^{n-1}$ es una deformación retractarse de $B^n$ tenemos que $H_i(B^n,B^n - x) \cong H_i(B^n,S^{n-1})$ por la secuencia exacta de la pareja, tenemos que este grupo es $\mathbb{Z}$ si $i=n$ $0$ lo contrario. Ahora supongamos que $x\in Y$, componiendo con una homeomorphism podemos asumir que $x= 0$. denotar por $B_+^n$ la mitad de la bola en $X$, es decir, $B^n\cap X$ entonces tenemos por el anterior lema que $$H_i(X,X-x) \cong H_i(B_+^n,B_+^n-x)$$ Ahora hay una deformación de retracción de $B^n - x$ a $S^{n-1}$ que restringe a $B_+^n-x$ a $S_+^{n-1}$. Usando ese $S_+^{n-1}\cong B^{n-1}$ (saca una foto) tenemos por el largo de la secuencia exacta del par que su homología se desvanece.

Ahora para la parte (b) supongamos que usted tiene un homeomorphism $h: X\to X$ que no preservar la imagen de $Y$, a continuación, seleccione un punto de $y\in Y$ tal que $f(y)\notin Y$, por la proposición anterior su local de la homología de grupos no isomorfos, contradicción.