He leído a través de la prueba elemental de por qué existe una solución $x$ $x^2\equiv -1\pmod p$ iff $p\equiv 1 \pmod 4$ $p$ un primer impar. ¿Hay una generalización de la teoría de grupos para este hecho así?
Respuestas
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Me gustaría esbozar el grupo teórico de hecho de la siguiente manera: Vamos a $G$ ser un número finito de abelian grupo. A continuación, los siguientes son equivalentes:
(1) Para cada $d$, hay en la mayoría de las $d$ soluciones a $g^d=1$.
(2) $G$ es cíclico.
(3) Por $n$ dividiendo $|G|$, hay exactamente $\phi(n)$ elementos de orden $n$.
El único lugar que conozco donde la hipótesis (1) muestra de forma natural está considerando la posibilidad de la multiplicación de los grupos de campos finitos. De esto podemos obtener:
Hay un elemento de orden $d$ $\mathbb{F}_{p^r}$ si y sólo si $d| p^r-1$.
No estoy seguro de que no hay más que decir.
David HAust
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Es de suponer que usted consulte la siguiente prueba, lo que contradice de Lagrange o de Fermat poco Teorema de
Supongamos $\rm\; p = 4n+3\;$ es primo. A continuación, $\rm\ x^2 = -1 \;\Rightarrow\; x^{p-1} = (x^2)^{2n+1} = -1 \pmod{p}\;\Rightarrow\Leftarrow$
Un campo finito de orden $\rm\:4n+3\:$ ha subgrupo de los cuadrados de orden $\rm\:2n+1\:$. Pero uno se muestra que en cualquier grupo de orden impar $\rm\; 2n+1\:$ la ecuación de $\rm\; x^2 = a\;$ tiene la solución $\rm\: a^{n+1}\;$ (debido a Lagrange en 1769). Se especializa $\rm\; a = -1\:$ llegamos a la conclusión de que $\rm\; x^2 = -1\:$ no tiene raíces. Por otro lado, la ecuación siempre tiene una raíz en un campo finito de orden $\rm 4n+1$ en el caso de $\rm k=4$ de Frobenius del teorema (1907) - que dice que si $\rm k$ divide el orden de un grupo finito $\rm G$ $\rm k$ también divide el número de $\rm k$'th raíces de $1$$\rm G\:$.
Lorin Hochstein
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Probablemente la forma más sencilla de estado correspondiente grupo de teoría resultado es la generalización del teorema de Frobenius mencionado por Bill Dubuque. La generalización dice que si $G$ es un grupo finito, entonces el número de soluciones en $G$ $x^n=1$es un múltiplo de a $\gcd(|G|,n)$.
En el caso de la congruencia $x^2\equiv -1\pmod{p}$, las soluciones de esta congruencia son exactamente las soluciones a $x^4\equiv 1 \pmod{p}$ que no son soluciones a $x^2\equiv 1\pmod{p}$. El orden del grupo aquí es $p-1$, por lo que el número de soluciones, la primera es un múltiplo de a $\gcd(4,p-1)$; el número de soluciones de la segunda es un múltiplo de a $2$, y sabemos los dos: $1$$-1$. Desde cada una de las soluciones a $x^4\equiv 1\pmod{p}$ es una solución a $x^2\equiv 1 \pmod{p}$, hay soluciones a $x^2\equiv -1\pmod{p}$ si y sólo si $\gcd(4,p-1) = 4$.
