Uno encuentra el centro de masa de estos cuerpos como uno solo
para cualquier cuerpo, por la integración.
El $x_i$-coordenada del centro de masa de una región $A$ $\mathbb{R}^n$
es
$$\frac{\int_A x_i\ dx_1\cdots dx_n}{\int_A\ dx_1\cdots dx_n}.$$
Aquí la región podría ser que entre los planos $x_n=a$ $x_n=b$
en la esfera de radio $r$ centrada en el origen. El uso de la simetría
de $A$ esta proporción de las integrales es igual a
$$\frac{\gamma_{n-1}\int_a^b x_n(r^2-x_n^2)^{(n-1)/2} dx_n}
{\gamma_{n-1}\int_a^b (r^2-x_n^2)^{(n-1)/2} dx_n}$$
(en el $x_n$ dirección) donde $\gamma_{n-1}$ es el volumen de la $(n-1)$-dimensional
unidad de balón (y amablemente se cancela). Estas integrales pueden ser atacados por
trig sustituciones.
Editado
Ahora es claro que mi interpretación original de tu pregunta
estaba mal. Sin embargo, aún no está claro si su centro de masa
es para un sólido orthant o su superficie curva. En cualquier caso, si su orthant
está definido por las condiciones de $x_1,\ldots,x_k\ge0$, entonces su centro de
de masa de la forma $(a,\ldots,a,0\ldots,0)$ donde $a$ depende de $r$
y $n$ pero no en $k$. Uno ve esto desde la simetría del problema.
Por lo tanto el problema se reduce a la hemisférico caso. En el caso de que el sólido
la respuesta es
$$a=\frac{\int_0^r x(r^2-x^2)^{(n-1)/2} dx}
{\int_0^r (r^2-x^2)^{(n-1)/2} dx}$$
mientras que en la "shell"), el caso es
$$a=\frac{\int_0^r x(r^2-x^2)^{(n-3)/2} dx}
{\int_0^r (r^2-x^2)^{(n-3)/2} dx}$$
(si me he hecho mi sumas a la derecha).
