Verificación de prueba multivariable$\epsilon-\delta$

Question

Demostrar que $\lim\limits_{(x,y) \to (1,1)} xy=1$

Por supuesto, soy consciente de que este es "evidente", pero quiero añadir algo de rigor. Cuando busqué por los alrededores para multivariable de los límites de uso de $\epsilon-\delta$, la mayoría de los ejemplos que había a $(x,y) \rightarrow (0,0)$, pero en este caso me he a $x$ $y$ acercándose algo más.

$(x,y) \rightarrow (1,1) \Leftrightarrow \lvert\lvert (x,y)-(1,1)\lvert\lvert \rightarrow 0$ que puede ser escrito como $0 < \sqrt {(x-1)^2+(y-1)^2} < \delta$ para algunos arbitrariamente pequeño $\delta >0$.

Objetivo: mostrar que $\forall$ $\epsilon>0$ $\exists$ $\delta>0$ tal que

$0 < \sqrt {(x-1)^2+(y-1)^2}<\delta\Rightarrow0<|xy-1|<\epsilon$

Prueba:

Si $0 < \sqrt {(x-1)^2+(y-1)^2}<\delta$, luego

$|xy-1|=|xy-x-y+1+x+y-2|=|(x-1)(y-1)+(x-1)+(y-1)|$

$\le|(x-1)(y-1)|+|x-1| +|y-1|=|x-1||y-1|+|x-1|+|y-1|$

$=(\sqrt{(x-1)^2})(\sqrt{(y-1)^2})+\sqrt{(x-1)^2}+\sqrt{(y-1)^2}$

$\le(\sqrt{(x-1)^2+(y-1)^2})^2+2\sqrt{(x-1)^2+(y-1)^2}<\delta^2+2\delta$

Si $\delta=$$\epsilon \over4$, a continuación, $\delta^2+2\delta=\frac{\epsilon^2}{16}+\frac{8\epsilon}{16}=\frac{\epsilon^2+8\epsilon}{16}$

Ahora, $\frac{\epsilon^2+8\epsilon}{16}<\epsilon \Leftrightarrow \epsilon^2+8\epsilon<16\epsilon\Leftrightarrow\epsilon(\epsilon-8)<0$

Desde $\epsilon>0$, $\epsilon(\epsilon-8)<0$ si y sólo si $\epsilon<8$

Así que si tenemos $\epsilon<8$, entonces podemos recoger $\delta=\frac{\epsilon}{4}$ lo que nos da $\delta^2+2\delta<\epsilon$. Si $\epsilon \ge8$, entonces podemos recoger $\delta=2$ lo que nos da $\delta^2+2\delta\le\epsilon$.

Por lo tanto, si tomamos $\delta =$ min { ${\frac{\epsilon}{4}, 2}$ }, $0 < \sqrt {(x-1)^2+(y-1)^2}<\delta$ implica $0<|xy-1|<\epsilon$

Por lo tanto, $\lim\limits_{(x,y) \to (1,1)} xy=1$

Answer 1

Una taquigrafía que podría encontrar útil:
Ya que$$(x-y)^2 \gt 0 \Rightarrow xy \lt \frac{x^2+y^2}{2} $ $ también, tenga en cuenta que$$\lVert (x-1, y-1) \rVert \lt \delta \Rightarrow |x-1| \lt \delta \;\land\; |y-1| \lt \delta \Rightarrow x \lt \delta+1 \;\land\; y \lt \delta+1 $ $

Answer 2

Tu prueba es correcta y bonita.

Tomar $\delta<1$

Al hacer esto a priori, encontrará el delta que necesita más fácilmente y ahorrará algo de tiempo de los cálculos.

Usted demostró que$$|xy-1| \leq |x-1||y-1|+|x-1|+|y-1|$ $

Por lo tanto,$$|x-1|=\sqrt{(x-1)^2} \leq \sqrt{(x-1)^2+(y-1)^2} < \delta$ $$$|y-1|=\sqrt{(y-1)^2} \leq \sqrt{(x-1)^2+(y-1)^2} < \delta$ $

Por lo tanto$|f(x,y)-1|=|xy-1| <\delta^2 +2\delta=\delta(\delta+2) <3 \delta$

Elija$0<\delta <\min\{ \frac{\epsilon}{3},1\}$ y tendrá el resultado