Demostrar que .

Question

Que $a$, $b$ $c$ ser números positivos. Demostrar que: $$\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}+\frac{3\sqrt[3]{abc}}{2(a+b+c)}\leq2 he probado C-S, BW, uvw y más, pero sin ningún éxito.

Answer 1

Aquí está mi prueba. Dedicada al querido Dr. Sonnhard Graubner.

Que $a+b+c=3u$, $ab+ac+bc=3v^2$, $abc=w^3$ y $u=xw$.

Por lo tanto, $x\geq1$ y necesitamos demostrar $$\sum{cyc}\frac{a}{a+b}+\frac{w}{2u}\leq2 o $$\sum{cyc}\left(\frac{a}{a+b}-\frac{1}{2}\right)\leq\frac{1}{2}-\frac{w}{2u} o $$(u-w)(9uv^2-w^3)\geq u\sum{cyc}(a-b)(a+c)(b+c) o $$(u-w)(9uv^2-w^3)\geq u\sum{cyc}(a-b)c^2 o $$(u-w)(9uv^2-w^3)\geq u(a-b)(a-c)(b-c), que dice que es probar nuestra desigualdad $a\geq b\geq c$.

ID est, queda por demostrar que $$(u-w)^2(9uv^2-w^3)^2\geq u^2(a-b)^2(a-c)^2(b-c)^2$ $ o$$ (u-w)^2(9uv^2-w^3)^2\geq 27u^2(3u^2v^4-4v^6-4u^3w^3+6uv^2w^3-w^6) o $f(v^2)\geq0$, donde $f(v^2)=108u^2v^6-81u^2w(2u-w)v^4-$

$-18uw^3(10u^2-2uw+w^2)v^2+w^3(108u^5+28u^2w^3-2uw^4+w^5)$.

Pero $$f'(v^2)=324u^2v^4-162u^2w(2u-w)v^2-18uw^3(10u^2-2uw+w^2), que dice que $v^2_{min}=\frac{6x^2-3x+\sqrt{36x^4+44x^3-7x^2+8x}}{12x}w^2$

y queda por demostrar $f\left(v^2_{min}\right)\geq0$ o $$648x^5-396x^4+342x^3+107x^2+20x+8\geq\sqrt{x(36x^3+44x^2-7x+8)^3} o %#% $ de #% hecho!