Si $k$ es un campo y $A$ es unital $k$-álgebra con unidad de$\mathbb{1}$, $A$ es no sólo un $k$-espacio vectorial, pero los escalares pueden ser considerados como elementos de $A$: el escalar $\lambda\in k$ también puede ser pensado como el escalar múltiples $\lambda \mathbb{1}$ de la unidad. Un $k$-álgebra homomorphism $\varphi : A \to B$ $k$- álgebras $A$ $B$ es un anillo homomorphism tal que $\varphi(\lambda\mathbb{1}_A) = \lambda\mathbb{1}_B$ mantiene, es decir, los escalares en $A$ son enviados a sus correspondientes escalares en $B$. Esto sirve para descartar "extraño" anillo homomorphisms que no preservar la $k$-álgebra de la estructura. Por ejemplo, considere el siguiente ejemplo:
Ejemplo. El polinomio anillo de $\mathbb{C}[x]$ $\mathbb{C}$- álgebra de una manera natural. Ahora consideremos el anillo homomorphism $\psi : \mathbb{C}[x] \to \mathbb{C}[y]$$\lambda\cdot x^n \mapsto \overline{\lambda}\cdot y^n$. Este no es un $\mathbb{C}$-álgebra homomorphism: por ejemplo tenemos $\psi(i) = -i$.
En general, si $A$ es unital álgebra a través de una conmutativa unital anillo de $R$ $\alpha\in A$ es un elemento, entonces existe un único unital $R$-álgebra homomorphism $\varphi : R[x] \to A$ tal que $\varphi(x) = \alpha$ mantiene. (Si $p\in R[x]$ es un polinomio, entonces $\varphi(p)$ es simplemente el polinomio $p$ que se aplica a $\alpha$.) El ejemplo anterior muestra que puede haber diferentes anillo homomorphisms con la misma propiedad (en el caso de $A = \mathbb{C}[y]$$\alpha = y$) que no $k$-álgebra homomorphisms.
En el estudio de la no-unital álgebras, una definición diferente de una $k$-álgebra es habitual. Ahora un $k$-álgebra sobre un campo $k$ se define como un $k$-espacio vectorial $A$ junto con una multiplicación tal que $(A,+,\cdot)$ formas de un generador de números aleatorios (es decir, un anillo sin unidad). En este caso los escalares no son, en general, elementos de $A$, y el álgebra estructura no puede ser definido en términos de un homomorphism $k \to Z(A)$. Una vez más, una $k$-álgebra homomorphism $\varphi : A \to B$ $k$- álgebras $A$ $B$ es lineal en el mapa que conserva la multiplicación: $\varphi(xy) = \varphi(x)\varphi(y)$ todos los $x,y\in A$, a pesar de que no se puede exigir $\varphi$ a ser unital. Independientemente de que el álgebra es unital, me resulta más fácil pensar en un $k$-álgebra como un vector de un espacio equipado con la multiplicación en lugar de un anillo junto con un homomorphism. (Sin embargo, si $k$ no es una esfera sino un anillo arbitrario, entonces un $k$-álgebra no es un espacio vectorial.)
