Cómo encontrar este $I=\int_{0}^{\infty}\frac{x\sin{(2x)}}{x^2+4}dx$

Question

Encontrar esta integral %#% $ #%

no $$I=\int{0}^{\infty}\dfrac{x\sin{(2x)}}{x^2+4}dx$, entonces $x=2t$de % de % $ $$I=\int{0}^{\infty}\dfrac{t\sin{(4t)}}{(t^2+1)}dt$ $ entonces no.

¿Este problema tiene sin métodos de residuos?

Answer 1

Este es un duplicado de esta Funciones definidas por integrales (problema 10.23 del Apostol del Análisis Matemático)

Tenemos que $$ F(y) = \int \frac{\sin(xy)}{x(x^2+1)}\mathrm{d}x = \frac{\pi}{2}(1-e^{-y}) $$ Una generalización de la integral está dada como $$ G(a,y) = \int \frac{\sin(xy)}{x(x^2+a^2)}\mathrm{d}x = a^{-2} F(ay) = \frac{\pi}{2a^2}(1-e^{-ay}) $$ La diferenciación de dos veces el rendimiento $$ \frac{\mathrm{d}^2 G}{\mathrm{d}y^2} = -\int_0^{\infty} \frac{x\sin(xy)}{x^2+a^2} = - \frac{\pi}{2} e^{-ay} $$ Por lo tanto $$ \int_{0}^{\infty}\dfrac{x\sin{(2x)}}{x^2+4}\mathrm{d}x = -G"(2,2) = \frac{\pi}{2} e^{-4} $$ Donde $G''(a,y)$ significa que la diferenciación con respecto a $y$.