Fermat ' s pequeño teorema: Grupo y multiplicación modulo

Question

<ul> <li><p>$p$ es un <strong>número primo</strong>.</p></li> <li><p>$G$ es un <strong>Grupo</strong> de números enteros $\{1,2,\dots,p-1\}$ bajo multiplicación mod $p$.</p></li> <li><p>$d$ es un divisor de $(p-1)$</p></li> </ul> <p>¿Es posible demostrar que el número de elementos $a$ $G$ tal que $a^d\equiv1$ (mod $p$) es exactamente $d$?</p> <p>% De teorema pequeño de Fermat $a^{p-1} \equiv1$debe venir bien en algún lugar.</p>

Answer 1

Tradicionalmente este resultado se utiliza como un lema en el proceso de la prueba de que los números primos poseen raíces primitivas, por lo que es posible demostrar este resultado sin la invocación de raíces primitivas.

Generalmente la prueba se basa en el siguiente hecho: vamos a $p$ ser un número primo, y deje $f(x) = c_k x^k + \cdots + c_1 x + c_0$ ser un polinomio con coeficientes enteros, donde $p\nmid c_k$. A continuación, $f(x)\equiv0\pmod p$ tiene más de $k$ soluciones (es decir, en la mayoría de las $k$ residuo de clases modulo $p$ contienen enteros que son soluciones de la congruencia).

Para derivar la OP resultado de esto, tenga en cuenta que si $d\mid(p-1)$, por lo que el $p-1=de$, luego $$ x^{p-1} - 1 = (x^d-1)(x^{(e-1)d} + \cdots + x^d + 1). $$ Pero el lado izquierdo del polinomio tiene exactamente $p-1$ raíces modulo $p$ por Fermat poco teorema, mientras que el segundo polinomio en el lado derecho tiene en la mayoría de las $(e-1)d$ raíces modulo $p$. Por lo tanto, $x^d-1$ debe tener al menos $(p-1)-(e-1)d=d$ raíces modulo $p$ (por lo tanto, tiene exactamente $d$ raíces, ya que se tiene en la mayoría de las $d$).