Probabilidad del número de respuestas al azar correcto.

Question

Mi profesor nos dio una verdadero – falso prueba con 100 "preguntas." Sólo no había hay preguntas. Él tenía una llave de respuesta y estaba tratando de demostrar que si nos preguntas verdaderas y falsas al azar, la media de la clase sería de alrededor 50%. Tengo 7 de 100, así que, por supuesto, mal 93 fuera de 100. Dijo que nunca había tenido un resultado que lejos de la media.

¿Cuál es la probabilidad de obtener sólo 7 preguntas de verdadero-falso de 100 correcto?

Answer 1

Muy pequeña. Para llegar a más derecha, 7 $$ \sum_{k= 0}^7 {100\choose k}{1\over 2^{100}}.$ $ es un número pequeño wee.

Answer 2

El número de deducciones correctas se rige por algo que se llama la distribución binomial.

$$P(k\,|\,n,p) = \left(\begin{array}{c}n\\k\end{array}\right)p^k(1-p)^{n-k}$$

La distribución binomial da la probabilidad de observar uno de dos resultados posibles (por ejemplo, un sorteo con una moneda sale cara o cruz, un estudiante de adivinar una pregunta de verdadero/falso a la derecha) $k$ veces $n$ cuando hay una probabilidad de $p$ de conseguir el resultado deseado en cualquier ensayo.

En su caso $p = \frac{1}{2}$ ya que los estudiantes están al azar de adivinar la respuesta a preguntas de verdadero/falso y son tan propensos a obtener de ellos el derecho como lo son para obtener de ellos el mal. Había un total de $n=100$ preguntas a responder y consiguió $k=7$ de ellos a la derecha. La probabilidad de obtener exactamente $7$ derecho es

$$ \begin{align} P(k=7\;|\;n=100,\,p=1/2) &= \left(\begin{array}{c}100\\7\end{array}\right)2^{-100} \\ &\aprox 1.26 \times 10^{-20} \end{align} $$

La probabilidad de adivinar en la mayoría de las $7$ derecho es

$$ \begin{align} P(k\le7\;|\;n=100,\,p=1/2) &= \sum_{i=0}^7\left(\begin{array}{c}100\\i\end{array}\right)2^{-100} \\ &\aprox 1.36 \times 10^{-20} \end{align} $$

que es sólo un poco mayor que la probabilidad de obtener exactamente $7$ a la derecha.

Esto le dice a usted, como un estudiante individual, que es muy raro de conseguir una puntuación baja. Para el profesor, quien ha preguntado a muchos estudiantes a hacer este experimento, la probabilidad de haber visto a un resultado aún es muy pequeño. Es aproximadamente $s \times 1.36 \times 10^{-20}$. Incluso para un millar de estudiantes esta es de la orden de $10^{-17}$, que todavía es un muy pequeño número.