¿Por qué estos vectores son linealmente independientes?

Question

Asumir que $A$ es un operador lineal en un vector real spacev $V$.

Quiero probar eso si $x,y \in V$ tal que $x\neq 0$ o $y \neq 0$ y algunos $a,b \in \mathbb R$ y $b\neq 0$, las condiciones siguientes sostienen Ax$ = por ax, Ay = ay + bx $$ $x,y$ son linealmente independientes.

Answer 1

Suponer lo contrario, es decir, que son linealmente dependientes. $x=ky$, Donde $k \ne 0$, por lo que

\begin{align} Ax=kAy &\implies ax-by=k(ay+bx) \implies x(a-kb)=y(ak+b) \ &\implies ky(a-kb)=y(ak+b) \implies ak-k^2b=ak+b \ &\implies k^2=-1. \end{align}

Esto es imposible como $V$ es un espacio verdadero del vector.

Por lo tanto, son linealmente independientes.