Cada espacio Polaco incontables tiene una copia de $\{0, 1\}^\mathbb{N}$

Question

Estoy teniendo problemas de verificación de corolario de 7,8 en la p. 6 en este documento

http://www.math.ucla.edu/~biskup/275b.1.13 w/PDFs/Estándar-Borel-Espacios.pdf

Mis problemas son con la definición del "árbol" de la secuencia de bolas. Particularmente, no veo las reivindicaciones en la parte inferior del segundo al último párrafo, diciendo que $B_{\sigma0}$ es disjunta de a $B_{\sigma1}$ y ambos están contenidos en $B_{\sigma}$. Hay un número de errores tipográficos en esto una prueba de que creo que he descubierto. Creo que los símbolos como "$\sigma0$" para denotar la concatenación. Faltan unos pocos "$\in$"s. No se han dado cuenta de lo que realmente significa en la definición de $r_n$, que me imagino que es parte de los obstáculos en mí ser incapaz de probar los créditos mencionados anteriormente. Nada abordar estas preguntas podrían ser útiles, pero soy lo suficientemente confundido de tal manera que una reescritura de la prueba a partir del punto donde se construye las bolas y terminando en el punto donde se hace la disjointness y contención de demandas podría ser útil. En cualquier caso, ciertamente me gustaría saber lo de la $r_n$ significa y por qué se hace la disjointness y contención de demandas y, por tanto, el "árbol" de aspecto de la construcción. Gracias.

Answer 1

$\newcommand{\BIN}{0\mathord{-}1}$En lugar de ir a través de la prueba de que usted está leyendo, voy a dar mi propio esquema con algunas notas que espero aclarar los pasos. (Voy a seguir las notas y el uso de la yuxtaposición de la concatenación.) No debe ser una traducción natural entre las ideas que se dan a continuación y aquellos en los .pdf. A grandes rasgos, lo que quiero hacer es la siguiente:

• Sin pérdida de generalidad supongamos que $X$ es perfecto, es decir, no tiene puntos aislados, y se da una completa compatible métrica.
• Inductivamente en la longitud de un número finito de $\BIN$ secuencia $\sigma$ definimos $x_\sigma , r_\sigma$ a fin de cumplir con lo siguiente:
  1. $x_{\sigma 0 } , x_{ \sigma 1} \in B ( x_\sigma ; r_\sigma )$;
  2. $0 < r_\sigma \leq 2^{-|\sigma|}$ donde $| \sigma|$ denota la longitud de $\sigma$;
  3. $B ( x_{\sigma i } ; r_{\sigma i} ) \subseteq B ( x_\sigma , r_\sigma )$ $i = 0 ,1$;
  4. $\overline{ B ( x_{\sigma 0 } ; r_{\sigma 0} ) } \cap \overline{ B ( x_{\sigma 1 } ; r_{\sigma 1} ) } = \emptyset$;

La definición de $x_\emptyset$ $r_\emptyset$ no plantea problemas, así que supongo que $x_\sigma$ $r_\sigma$ han sido definidos. Tenga en cuenta que desde $x_\sigma$ no es un punto aislado de a $X$, y el balón $B ( x_\sigma , r_\sigma )$ contiene una infinidad de puntos de $X$, por lo que elegir cualquiera de los dos claramente diferenciados, y el nombre de ellos $x_{\sigma 0 } , x_{\sigma 1}$. Claramente $d ( x_{\sigma 0} , x_{\sigma 1} ) > 0$, y así vamos a recoger $$r_{\sigma i} = \min \left\{ 2^{|\sigma|+1} , \frac{d ( x_{\sigma 0} , x_{\sigma 1})}3 , r_\sigma - d ( x_\sigma , x_{\sigma i} ) \right\}.$$ Mirando a esta definición, cuidadosamente, vemos lo siguiente:

• Claramente $r_{\sigma i} \leq 2^{-| \sigma | + 1} = 2^{-| \sigma i|}$, de modo que satisface (2) anterior;
• Dejando $r = d ( x_{\sigma 0} , x_{\sigma 1} )$ $r_{\sigma 0} , r_{\sigma 1} \leq \frac{r}{3}$ tendremos que $\overline{ B ( x_{\sigma i} ; r_{\sigma i} ) } \subseteq \overline{B} ( x_{\sigma i} \frac{r}{3} )$ (el cerrado de la bola), y por lo tanto estos serán distintos, significado (4) anterior, está satisfecho;
• Como $r_{\sigma i} \leq r_\sigma - d ( x_\sigma , x_{\sigma i} )$ por la desigualdad de triángulo tendremos $B ( x_{\sigma i} , r_{\sigma i} ) \subseteq B ( x_\sigma , r_\sigma )$, y so (3) es satisfecho.

Ahora bien, dado cualquier infinitas $\BIN$-secuencia $\tau$, para cada una de las $n \in \mathbb{N}$ denotar por $\tau \restriction n$ $n$- longitud $\BIN$-secuencia que consta de la primera $n$ coordenadas de $\tau$. Por las condiciones (2) y (3) anteriores se deduce que $\langle x_{\tau \restriction n} \rangle_{n \in \mathbb{N}}$ es una secuencia de Cauchy en $X$, y por lo tanto converge a algunos $x _\tau \in X$. Además, si $\tau , \theta$ son distintos infinito $\BIN$-secuencias, entonces hay un mínimo de $n$ tal que $\tau (n) \neq \theta (n)$. De ello se sigue que, sin pérdida de generalidad, $\tau \restriction (n+1) = \sigma 0$ $\theta \restriction ( n+1) = \sigma 1$ para algunos finito $\BIN$-secuencia $\sigma$. Por (3) se sigue que $x_\tau \in \overline{ B ( x_{\sigma 0} , r_{\sigma 0} ) }$$x_\theta \in \overline{ B ( x_{\sigma 1} , r_{\sigma 1} )}$, y en (4) se deduce que $x_\tau \neq x_\theta$.

Answer 2

Me disculpo para añadir un extra de respuesta, pero he ido a través de la prueba en los enlaces .pdf, y creo que hay una muy buena razón para desconfiar de él. A continuación he citado la parte pertinente de la prueba, el uso de negritas y cursivas para indicar palabras/frases que me siento de haber sido omitido, y el uso de $\color{blue}{\text{blue}}$ para denotar símbolos matemáticos también siento que fueron omitidos. Tras la cita me da lo que yo siento es el gran problema de la prueba, lo que también indica la razón por la que estaban teniendo problemas con ella!

Deje $( x_n )$ ser una contables denso conjunto (de distintos puntos) en $\mathcal{P}$. Como es fácil comprobar, existen dos funciones de $f_0$ $f_1$ $\{ x_1 , \ldots \}$ a tal que $$\max \{ d ( f_0 ( x_n ) , x_n ) , d ( f_1 ( x_n ) , x_n ) \} \leq 2^{-n} \tag{7.19}$$ and $$\min \{ d ( f_0 ( x_n ) , x_n ) , d ( f_1 ( x_n ) , x_n ) \} \geq d ( f_0 ( x_n ) , f_1 ( x_n ) ) > 0. \tag{7.20}$$ We know define a collection of balls $B_\sigma$, indexed by $\sigma \color{blue} {\} \ { 0 , 1 \}^n$, centered at points of $\{ x_1 , x_2 , \ldots \}$ as follows: Set $B_\varnothing$ to be the ball of radius $\frac{1}{2}$ about $x_1$. If $B_\sigma$ is defined for all $\sigma \color{blue} {\} \ { 0 , 1 \}^n$, and $\tilde{x}_\sigma$ are their centers, let $r_n$ be the minimum of the distance between $f_0 ( \tilde{x}_\sigma )$ and $f_1 ( \tilde{x}_\sigma )$ for all $\sigma \in \{ 0 , 1 \}^n$. Then let $B_{\sigma0}$ be the ball centered at $f_0 ( \tilde{x}_\sigma )$ of radius $\frac{r_n}{4}$, and similarly let $B_{\sigma 1}$ be the corresponding ball centered at $f_1 ( \tilde{x}_\sigma )$. These balls are disjoint with $B_{\sigma 0} , B_{\sigma 1} \subconjunto B_\sigma$ and, by induction, the same is true for $\{ B_\sigma : \sigma \color{blue} {\} \ { 0 , 1 \}^n \}$ for all $n \geq 1$.

Un problema muy grande con esta prueba es que para cada una de las $x_k$ hemos elegido los dos puntos que iba a seguir en la construcción del árbol antes de saber lo lejos que debería ser. Sabemos que $0 < d ( f_i ( x_k ) , x_k ) \leq 2^{-k}$, sin embargo la etapa en la cual se $x_k$ ha sido elegida para ser una $\tilde{x}_\sigma$ el radio de la correspondiente bola de $B_\sigma$ ya puede ser tan pequeña que no contenga $f_i ( x_k )$, con lo que la afirmación de que $B_{\sigma i} \subset B_\sigma$ falso! No veo una forma de fijación de la prueba escrita, como en general es una mala cosa para elegir los objetos antes de que sea necesario (y mi contorno y la prueba en la otra respuesta evita decisiones hasta que la necesidad de que la elección ha sido hecha absolutamente claro!).

Un menor punto es que la hipótesis inductiva se debe dar en algún momento en esta inductivo de construcción. Con el fin de mostrar que el $B_{\rho i}$ $B_{\sigma j}$ son distintos para $\rho , \sigma \in \{ 0 , 1 \}^n$ $i,j \in \{ 0 , 1 \}$ nosotros al menos necesidad de asumir que $B_\sigma \cap B_\rho = \emptyset$. Este error es más fácil de arreglar, pero el hecho de que no se no me da una sentirme en las nubes en el interior.