Tira un dado hasta que, por primera vez, el mismo lado aparezca dos veces seguidas. Deje que$X$ sea el número de rollos necesarios. calcular$\mathbb{E}(X)$.

Question

Estoy teniendo problemas para resolver este problema:

Tira un dado hasta que, por primera vez, el mismo lado aparezca dos veces seguidas. Deje que$X$ sea el número de rollos necesarios. calcular$\mathbb{E}(X)$.

Sé que la respuesta a esta pregunta es$\mathbb{E}(X) = 7$, pero no sé por qué. ¿Podría explicarme esto?

¡Gracias por adelantado!

Answer 1

Deje que$Y$ denote la cantidad de tiradas que aún se necesitan después de la primera tirada (entonces$X=1+Y$).

Luego$\mathbb{E}\left(Y\mid Y>1\right)=1+\mathbb{E}Y$ (¿entiendes por qué?) Para que

$\mathbb{E}Y=\mathbb{E}\left(Y\mid Y=1\right)P\left(Y=1\right)+\mathbb{E}\left(Y\mid Y>1\right)P\left(Y>1\right)=1+\frac{5}{6}\mathbb{E}Y$

Concluimos que$\mathbb{E}Y=6$ y$\mathbb{E}X=1+\mathbb{E}Y=7$.

Answer 2

Un enfoque ligeramente diferente usando la ley de probabilidad total: \begin{align*} E(X) ={} & E(X\mid(\text{%#%#%-th toss is same as %#%#%-th})\cdot P(\text{%#%#%-th is same}) \\ &{} + E(X\mid(\text{%#%#%-th toss is different})\cdot P(\text{%#%#%-th is different}) \\ = {} & (2)\cdot\frac{1}{6} + (E(X) + 1) \cdot \frac{5}{6} \end {align *} Luego, resolviendo para$(i+1)$ tenemos 7.

Lo importante a tener en cuenta es que$i$ (i +1)$(i+1)$ es simplemente$(i+1)$, ya que puede pensar en nuestro indicador$(i+1)$. tener un lado diferente enrollado.

Answer 3

A partir de la segunda tirada, la probabilidad de que la tirada sea la misma que la anterior es$1/6$. Por lo tanto, el número de tiradas hasta que aparecen dos lados en una fila se distribuye$1+\mathrm{Geom}(1/6)$ (uno más una variable aleatoria geométrica con probabilidad de éxito$1/6$), cuya expectativa es$1+6 = 7$.

Answer 4

La probabilidad de uno tirada de dados igual a la anterior es constante 1/6, pero uno anterior tiro es necesario para "empezar". Esperamos haber ganado una vez después de 6 intentos, pero un extra de tiro es necesaria para conseguir el "iniciado".

Si se desea calcular mediante el análisis de:

https://en.wikipedia.org/wiki/Bernoulli_distribution https://en.wikipedia.org/wiki/Geometric_distribution

El valor esperado de la distribución Geométrica es 1/p, es decir, 1/(1/6) = 6 en este caso y +1 es necesario para "empezar".