Necesito demostrar que $f_n(x) = \frac{\ln(1+nx)}{n+x}$ converge uniformemente en $X = [0,10]$ . He intentado demostrar por el criterio de Cauchy, así como a partir de la definición (donde la función límite es $f =0$ ), pero sin resultados hasta ahora.
Pista. Deja que $R>0$ . Entonces para $x\in [0,R]$ y para $n\geq 1$ , $$0\leq \frac{\ln(1+nx)}{n+x}\leq \frac{\ln(1+nR)}{n}.$$ ¿Qué podemos concluir como $n$ va al infinito?
P.D. En realidad, la convergencia es uniforme en $[0,+\infty)$ . Desde $\ln(1+nx)$ es cóncavo, su gráfica queda bajo la recta tangente en $x=n$ : $$\ln(1+nx)\le \ln(1+n^2)+\frac{n(x-n)}{1+n^2}.$$ Por lo tanto, para $x\geq 0$ , $$0\leq \frac{\ln(1+nx)}{n+x}\leq \frac{\ln(1+n^2)}{n+x}+\frac{n}{1+n^2}\cdot \frac{x-n}{n+x}\leq \frac{\ln(1+n^2)}{n}+\frac{n}{1+n^2}.$$
@MarkViola Tienes razón. Se puede demostrar que para $x\geq 0$ , $0\leq \frac{\ln(1+nx)}{n+x}\leq \frac{\ln(1+n^2)}{n}$ .
Robert, pude demostrar que el valor máximo de $\frac{\log(1+nx)}{n+x}$ se produjo en un valor de $x_n>\sqrt{n}$ y que este máximo era $\frac{n}{1+nx}\le \frac{n}{1+n^{3/2}}$ , lo que basta para demostrar la UC en los reales positivos.
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Demuestre que puede encontrar una secuencia positiva $a_n$ tal que $\lvert f_n(x) \rvert \le a_n$ para todos $x \in [0,10]$ y $a_n \to 0$ . ¿Ves por qué esto implicaría una convergencia uniforme a cero?