Estoy trabajando a través de una mayor libro de texto de álgebra. Tiene algunos ejercicios relacionados con los números enteros positivos y yo estoy atrapado en esta prueba. He aquí lo que tengo hasta ahora:
Intento de prueba
Asumir el contrario, [(xy=0)∧(x,y∈ℤ)]→[(x=0)∨(y=0)]→[(x=0)∧(y=0)]→[(x≠0)∧(y≠0)]
Ahora vamos x ser simbolizado por el par de enteros positivos (a,b). Asimismo, y vamos a ser simbolizados por el par de enteros positivos (c,d)
[(a,b)·(c,d)=0]→[(a,b)·(c,d)=(a,a)]→[(ac+bd,ad+bc)=(a,a)]→[ac+bd+a=ad+bc+a]→[ac+bd=ad+bc]→[ac+bd+ab+cd=ad+bc+ab+cd][a(c+b)+b(c+d)=a(d+b)+c(b+d)]→[(a+b)·(c+d)=(a+c)·(b+d)]
Hacer una pausa aquí. Puedo completar la prueba iff puedo obtener una prueba de que ab=cd→[(a=c Y b=d) O (a=d Y b=c) O (a=kc Y kb=d) O (a=kd Y kb=c)] donde a,b,c,d,k son enteros positivos y k>1. Esto me parece evidente; pero parece desalentador para la prueba con tantas variables y equipado poco más que con la inducción y la lógica elemental. Así que, si alguien puede probar el original de la proposición o el que ahora me gustaría que me quedaría muy agradecido. Ya he comprobado esta pregunta similar, pero las únicas respuestas no requieren de una definición para el inverso multiplicativo, el cual no está definido todavía. Ni es el de la división, o la resta de números enteros positivos.
Utilizable Conceptos
Aditivos y multiplicativos de cancelación, comunicativa y asociativas leyes, la ley distributiva, la desigualdad, dado que a+x=b para enteros positivos a,x,b, a< b y a< b XOR a>b XOR a=b, transitiva de la ley de la desigualdad, el postulado de la inducción finita.
Para los números enteros, que han sido definidos como los pares de enteros positivos. Una igualdad (a,b)=(c,d) celebra el FIB a+d=b+c. (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d), (a,b)·(c,d)=(ac+bd,ad+bc). Entiendo que esto probablemente no es la forma habitual de hacer las cosas, así que siéntase libre para evitar la notación y el palo con números negativos, pero se advirtió que las manipulaciones que involucran números enteros positivos no deben ser mezclados con números enteros.
Hay otros axiomas, pero la mayoría son irrelevantes. Si te gustaría saber si tengo un concepto específico definido aún, sólo pregunte.
Para los curiosos, el libro de texto es Mayor de Álgebra para la Licenciatura de 2º de Ed. Escrito por Marie J. Weiss y Roy Dubisch. Esto no es para hacer la tarea o nada, acabo de recibir una carga de viejos libros de texto de un amigo y estoy solo trabajando a través de ellos antes de salir de la escuela secundaria.
