Soluciones integrales de $x^2+y^2+1=z^2$

Question

Estoy interesado en soluciones integrales de $$x^2+y^2+1=z^2.$$ Is there a complete theory comparable to the one for $x^2+y^2=z^2?$

Answer 1

La ecuación que define a una cónica con un racional punto (0,0,1). Las otras soluciones racionales pueden ser parametrizadas por líneas a través de ese punto. Como con $x^2+y^2 = z^2$ el entero de las soluciones pueden ser deducidas a partir de los racionales, y de la forma cuadrática $x^2+y^2 - z^2$ tiene un gran lineal grupo de simetría que permite moverse entre las soluciones. En estos aspectos la teoría es el mismo que el de las ternas Pitagóricas.

Hay una diferencia en la estructura del grupo de simetría. Para $a=0$ el hyperboloid $x^2+y^2 - z^2 = a$ se convierte en un cono, con escala adicional simetrías además de las transformaciones lineales de la hyperboloid; en efecto, el $O(2,1)$ grupo de simetría de las soluciones racionales se derrumba en un producto de cambios de escala y círculo de isometrías. Para un entero soluciones, con ternas Pitagóricas hay una reducción para el caso de la primitiva triples, pero al $a \neq 0$ hay un límite en el que los factores comunes de $(x,y,z)$, y para $a = \pm 1$ todo entero soluciones son primitivas. La organización de ternas Pitagóricas el uso de varios 3x3 entero matrices como las transformaciones conectar diferentes soluciones hace uso de la $O(2,1)$ estructura, y el conjunto solución de la ecuación con $a \neq 0$ podría ser presentado en el mismo camino (posiblemente con más de un componente conectado al $|a| > 1$).

Answer 2

Nota: Esta no es una respuesta completa. En primer lugar, quiero señalar que tanto en $x$ $y$ debe ser par.

Podemos trivialmente conseguir uno infinitamente familia de soluciones de las siguientes opciones: Considerar la posibilidad de tripletas de la forma $$(x,y,z)=(2r^2,2r,2r^2+1).$$ Then they satisfy the above as $$(2r^2 )^2 +(2r)^2+1=(2r^2+1)^2.$$ This gives rise to $$(2,2,3), \ (4,8,9), \ (6,18,19),\ \cdots$$

Answer 3

la ecuación: $X^2+Y^2=Z^2-1$

Las soluciones pueden ser escritos utilizando las soluciones de la ecuación de Pell: $p^2-2k(k-1)s^2=1$

$k$ - dado por nosotros.

Las soluciones de la forma:

$X=2kps-2(k-1)s^2$

$Y=2(k-1)ps+2ks^2$

$Z=p^2+2(k^2-k+1)s^2$

Y más:

$X=2p^2-2(3k-2)ps+2(2k-1)(k-1)s^2$

$Y=2p^2-2(3k-1)ps+2k(2k-1)s^2$

$Z=3p^2-4(2k-1)ps+2(3k^2-3k+1)s^2$

Aunque debe ser una solución más general para grabar.

Answer 4

Todos los números pueden ser de cualquier personaje.En La Ecuación: $qX^2+Y^2=Z^2+a$

Si el ratio se calcula así: $a=(b-c)(b+c)$

A continuación, hacemos uso de las soluciones de la ecuación de Pell: $p^2-fs^2=\pm1$

donde: $f=(q+1)k^2-2kt-(q-1)t^2$

A continuación, las soluciones son de la forma:

$X=2(ck-bt)ps+2(bk^2-(b+c)kt+ct^2)s^2$

$Y=bp^2+2c(k-t)ps-(b(q-1)k^2+2(b-qc)kt+b(q-1)t^2)s^2$

$Z=cp^2+2b(k-t)ps+(c(q+1)k^2-2(bq+c)kt+c(q+1)t^2)s^2$

Todos los números pueden ser de cualquier personaje.

Answer 5

Para la ecuación: $qX^2+Y^2=Z^2+j$

En el caso de un cuadrado: $a=\sqrt{\frac{j}{q}}$

El uso de la ecuación de Pell: $p^2-(q+1)s^2=1$

Entonces la solución puede ser escrita:

$X=2s(s\pm{p})L\pm{ap^2}+2aps\pm{a(q+1)s^2}=bL+af$

$Y=(p^2\pm2ps+(1-q)s^2)L\pm{ap^2}+2aps\pm{a(q+1)s^2}=cL+af$

$Z=(p^2\pm2ps+(q+1)s^2)L\pm{ap^2}+2a(q+1)ps\pm{a(q+1)s^2}=fL+at$

$L$ - cualquier número entero dado por nosotros.

Lo más interesante es que estos números son soluciones de las ecuaciones:

$qb^2+c^2=f^2$

$t^2-(q+1)f^2=\pm{q}$

Si utilizamos la ecuación de Pell: $p^2-(q+1)s^2=k$

Y sustituir las soluciones en la parte superior de la fórmula, tenemos soluciones de las siguientes ecuaciones.

$qb^2+c^2=f^2$

donde: $c-b=k$

$t^2-(q+1)f^2=\pm{qk^2}$

Cierto, yo uso de esta fórmula en orden inverso. Encontrar las soluciones de la ecuación de Pell es mucho más complicado que la simple ecuaciones como ternas Pitagóricas. Así que encontrar y, a continuación, tiene soluciones de la ecuación de Pell. Lo más interesante es que la solución de Pell relacionados con ternas Pitagóricas.