Tengo problemas para mostrar lo siguiente:
Dejemos que$\kappa$ sea un cardenal fuertemente inaccesible. Muestre que el conjunto de todos los ordinales$\alpha <\kappa$ tal que$V_\alpha \models ZFC$ contiene un club.
Cualquier consejo sería apreciado.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Stefan
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Nos muestran que $$ C := \{\alpha < \kappa \mid V_\alpha \prec V_\kappa \} $$ es un club. Como $V_\kappa$ es un modelo de ZFC, esto demuestra la demanda inicial.
Nota, que $C$ es cerrado (esto se deduce de la Tarski-Vaught de la prueba).
A ver que $C$ es ilimitado, proceda de la siguiente manera: Dado $\alpha_0 < \kappa$, de forma recursiva construir una secuencia $(\alpha_n \mid n \le \omega)$ como sigue:
$\alpha_{n+1}$ es el menos $\alpha < \kappa$ s.t. $V_{\alpha_n} \cup \{ \alpha_n \} \subseteq V_{\alpha}$ e s.t. para cada fórmula de la forma$\exists v_0 \phi(v_0,y_1, \ldots, v_n)$$x_1, \ldots, x_n \in V_{\alpha_n}$: Si hay algo de $x_0 \in V_{\kappa}$ con $$V_{\kappa} \models \phi(x_0,x_1, \ldots, x_n),$$ luego ya hay algunos $x'_0 \in V_{\alpha}$ con $$V_{\kappa} \models \phi(x'_0,x_1, \ldots, x_n).$$
Ahora $\alpha_\omega := \sup \{ \alpha_n \mid n < \omega \}$ satisface $$ V_{\alpha_\omega} \prec V_{\kappa} $$ (de nuevo por el Tarski-Vaught de la prueba y el hecho de que $(\alpha_n \mid n < \omega)$ es estrictamente creciente).
