Solución de $Ax^5+Bx^3=C$

Question

Tengo que encontrar la solución positiva del tipo $Ax^5+Bx^3=C (A,B,C>0)$. Es bien sabido que un polinomio de grado mayor que $4$ no admite una expresión para las raíces pero espero :D

De hecho, quiero minimizar $a_0x^{-\beta}+b_0x^{1-\beta}+c_0x$ y por el derivado se convierte en $a_1x^{-\beta-1}+b_1x^{-\beta}=c_1$. Entonces cuando $\beta=1,2$ admite una solución radical es simple $\beta=1$ y es raíz del polinomio de grado $3$ $\beta=2$. Ahora considero $\beta=3/2$ y se convierte en $Ax^5+Bx^3=C$.

Answer 1

% Positivo $x$el lado izquierdo es Monótonamente creciente y convexa. Por lo tanto la ecuación es únicamente soluble. Además, método de Newton es guardar utilizar si a partir de algunos externa de la raíz radio $x_0=R$. Para este ejemplo podría utilizarse $R=\max\left(1,\sqrt[5]{\frac{C}{A+B}}\right)$.

Answer 2

Una vieja pregunta, pero de todos modos... El general grado puede reducirse a las siguientes formas de trinomio,

$$ax^5+bx^4+c = 0\tag1$$

$$ax^5+bx^3+c = 0\tag2$$

$$ax^5+bx^2+c = 0\tag3$$

$$ax^5+bx+c = 0\tag4$$

por lo tanto, tuyo $(2)$, en general, no es soluble en los radicales.