¿Si $[X, Y]=0$, entonces el $\operatorname{Ad}_{e^{tX}}Y = Y$ % todo $t\in \mathbb{R}$?

Question

Deje $G$ ser una Mentira grupo y $\mathfrak{g}$ ser su Mentira álgebra. Deje $X$ e $Y$ ser de desplazamientos de los elementos de $\mathfrak{g}$, es decir, $[X, Y]=0$. Quiero mostrar que la $\operatorname{Ad}_{e^{tX}}Y = Y$ para todos los $t\in \mathbb{R}$. Sé que la tangente mapa de $\operatorname{Ad}$ es $\operatorname{ad}$ e $\operatorname{ad}(X)Y = [X, Y]=0$. Este puede implicar $\operatorname{Ad}_{e^{tX}}Y = Y$ para todos los $t\in \mathbb{R}$? Cualquier sugerencias o de referencia son apreciados.

Answer 1

Es un hecho general que $${\rm Ad}_{\exp (tX) } (Y) = \exp ({\rm ad}_{tX} )(Y) = Y + [tX, Y] + \frac 1 {2!} [tX, [tX, Y]] + \frac 1 {3!} [tX, [tX, [tX, Y]]] + \dots$$ Vea aquí. (He sustituido la $X$ en las referencias con $tX$, pero el resultado, obviamente, todavía se aplica.)

Y desde ${\rm ad}_{tX} (Y) = [tX, Y] = t[X, Y] =0$, tenemos $\exp ({\rm ad}_{tX})(Y) = Y$, lo que da el resultado que usted desea.