Para arbitrario $n\times n$ matrices M, estoy tratando de resolver la integral
$$\int_{\|v\| = 1} v^T M v.$$
La solución de esta integral en un par de bajas dimensiones (al pasar a coordenadas esféricas) sugiere que la respuesta en general a ser $$\frac{A\,\mathrm{tr}(M)}{n}$$ donde $A$ es el área de la superficie de la $(n-1)$-dimensiones de la esfera. Hay un agradable, coordinar enfoque libre para probar esta fórmula?
La integral es lineal en $M$, tan sólo tenemos que calcular para canónica matrices $A_{kl}$ que abarca el espacio de las matrices, con $(A_{kl})_{ij}=\delta_{ik}\delta_{jl}$. La integral se desvanece por la simetría para $k\neq l$, ya que para cada punto de la esfera con coordenadas $x_k$ $x_l$ hay una con $x_k$$-x_l$.
Tan sólo tenemos que calcular la integral de $k=l$. Por simetría, esto es independiente de la $k$, por lo que solo es $1/n$ de la integral para $M$ la identidad. Pero eso es sólo la integral sobre la $1$, que es el área de superficie $A$ de la esfera.
A continuación, por la linealidad de la integral para arbitrario $M$ es la suma de los elementos de la diagonal, es decir, la traza de veces, el coeficiente de $A/n$.
Como una función de la $M$ su integral es lineal, y es invariante bajo la conjugación por transformaciones ortogonales ($C_R: M \mapsto R^{T} M R$). Ahora el promedio de $C_R(M)$ sobre todas las transformaciones ortogonales $R$ (con medida de Haar) es $\text{Tr}(M) I/n$ (debe ser invariante bajo todas las $C_R$, por lo que es un múltiplo de a $I$, y la traza se conserva). De modo que la integral es el mismo como lo sería para $\text{Tr}(M)I/n$, $\text{Tr}(M)/n$ veces el área de la esfera.
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