Si$x$ y$y$ son números solitarios que satisfacen$\gcd(x,y)=1$, ¿bajo qué condiciones se sigue que$xy$ también es solitario?

Question

Deje $\sigma(z)$ denotar la suma de los divisores de a$z \in \mathbb{N}$. Indicar el índice de abundancia de $z$ por $I(z) = \sigma(z)/z$.

Si la ecuación de $I(z)=I(a)$ tiene la única solución de $z=a$, a continuación, $a$ se dice que el ser solitario. La ecologización del Teorema establece que si $\gcd(b,\sigma(b))=1$, a continuación, $b$ es solitario. (Tenga en cuenta que el recíproco no es necesariamente válida.)

Aquí está mi pregunta:

Si $x$ e $y$ son solitarios números de satisfacer $\gcd(x,y)=1$, ¿bajo qué condiciones se sigue que la $xy$ también es solitario?

El trabajo más reciente en solitario números que he podido encontrar en Google parece ser que las Nuevas familias del régimen de los números por Pablo A. Loomis. Sin embargo, mi presente investigación no se cubre en este papel.

Answer 1

Esta es una respuesta parcial.

Tenga en cuenta que todos los números primos son solitarios.

Reivindicación 1 : Si $x=3$ e $y$ es un primo de la forma $6k+1$, a continuación, $xy$ es solitario.

Prueba : obtenemos $\sigma(xy)=\sigma(3y)=(1+3)(1+6k+1)=8(3k+1)$, por lo que $$\gcd(xy,\sigma(xy))=\gcd(3(6k+1),8(3k+1))=\gcd(6k+1,3k+1)=1$$ De ello se desprende que $xy$ es solitario. $\quad\blacksquare$

Reivindicación 2 : Si $x=5$ e $y$ es un primo de la forma $10k+3$ donde $k\ge 1\in\mathbb N$, a continuación, $xy$ es solitario.

Prueba : obtenemos $\sigma(xy)=\sigma(5y)=(1+5)(1+10k+3)=12(5k+2)$, por lo que $$\gcd(xy,\sigma(xy))=\gcd(5(10k+3),12(5k+2))=\gcd(10k+3,5k+2)=1$$ De ello se desprende que $xy$ es solitario. $\quad\blacksquare$

Reivindicación 3 : Si $x=5$ e $y$ es un primo de la forma $10k+7$, a continuación, $xy$ es solitario.

Prueba : obtenemos $\sigma(xy)=\sigma(5y)=(1+5)(1+10k+7)=12(5k+4)$, por lo que $$\gcd(xy,\sigma(xy))=\gcd(5(10k+7),12(5k+4))=\gcd(10k+7,5k+4)=1$$ De ello se desprende que $xy$ es solitario. $\quad\blacksquare$

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Agregado : De Erick Wong comentario, tengo algunos ejemplos.

Reclamo : Si $x$ es un primo tal que $x\equiv 1\pmod 3$ e $y$ es un primo de la forma $2x(x+1)k+x-2$, a continuación, $xy$ es solitario.

Prueba : obtenemos $$\gcd(x,\sigma(y))=\gcd(x,x(2kx+2k+1)-1)=1$$ y $$\gcd(\sigma(x),y)=\gcd(x+1,(x+1)(2kx+1)-3)=1$$ De ello se desprende que $xy$ es solitario. $\quad\blacksquare$

P. S. : Desde $\gcd(2x(x+1),x-2)=\gcd(x-2,12)=1$ para $x\equiv 1\pmod 3$, hay, por Dirichlet del teorema, una infinidad de números primos de la forma $2x(x+1)k+x-2$.

Algunos ejemplos de pequeño $x$ :

• Si $x=7$ e $y$ es un primo de la forma $112k+5$, a continuación, $xy$ es solitario.

• Si $x=13$ e $y$ es un primo de la forma $364k+11$, a continuación, $xy$ es solitario.

• Si $x=19$ e $y$ es un primo de la forma $760k+17$, a continuación, $xy$ es solitario.

• Si $x=31$ e $y$ es un primo de la forma $1984k+29$, a continuación, $xy$ es solitario.