Por qué entero algebraico p poder no divisible por p p principal grande

Question

Estoy leyendo Trascendental de la teoría de números (Baker A) y que ahora va a través del teorema de Lindemann. En la prueba, afirma que

$$l^{np}(p-1)!\prod_{\substack{k=1\\k\ne i}}^n(\alpha_{i}-\alpha_{k})^{p}$$

es una expresión algebraica entero divisible por $(p- 1)!$ , pero no por $p!$ si $p$ suficientemente grande (p es primo), donde $l$ es un entero tal que $l\alpha$'s son algebraicas entero y $\{\alpha_1,...,\alpha_n\}$ es el conjunto completo de los conjugados.

Yo había probado con un uso mínimo de polinomio, pero parece que no funciona porque el algebraicas entero varía con la p. ¿Alguien puede dar más detalles acerca de esto?

Answer 1

Dado que $\beta_i:=l\alpha_i$ es un entero algebraico para todos los $i$, podemos reescribir la expresión para obtener $$l^{pn}(p-1)!\prod_{\substack{k=1\\k\ne i}}^n(\alpha_{i}-\alpha_{k})^{p} =l^p(p-1)!\prod_{\substack{k=1\\k\ne i}}^n(\beta_{i}-\beta_{k})^{p},$$ lo que es claramente divisible por $(p-1)!$. Ahora para que no sea un múltiplo de $p!$ necesitamos que el resto de factor de $$l^p\prod_{\substack{k=1\\k\ne i}}^n(\beta_{i}-\beta_{k})^{p},$$ no es un múltiplo de a$p$. Tenga en cuenta que el discriminante de la serie ring $\Bbb{Z}[\beta_1,\ldots,\beta_n]$ está dado por $$\Delta:=\Delta(\Bbb{Z}[\beta_1,\ldots,\beta_n])=\prod_{i=1}^n\prod_{\substack{k=1\\k\ne i}}^n(\beta_{i}-\beta_{k}),$$ que es un número entero (suponiendo que el $\beta_i$ son un conjunto completo de conjugados de más de $\Bbb{Z}$). Esto demuestra que el resto de factor anterior se divide el entero $(l\Delta)^p$, y esto claramente no es un múltiplo de a$p$ para suficientemente grande $p$.