¿Cuántos números enteros $a,b,c$ tanto positivo como negativo, de tal manera que $P=a^b b^c c^a$ es un número primo?

Question

¿Cuántos números enteros $a,b,c$ tanto positivo como negativo, de tal manera que $P=a^b b^c c^a$ es un número primo?

Si $a,b,c$ son positivos, entonces dos de $a,b,c$ igual a $1$ . Supongamos que $b=c=1$ Entonces $a$ es cualquier número primo.

WLOG, si $c<0$ y $a,b>0$ Entonces $a$ debe ser parejo, así que $a=2$ Así que $b=1$ y $c=-1$

Si $a,b,c<0$ Entonces $P$ es más pequeño que $1$ así que $P$ no será una primicia.

Sin embargo, si sólo uno de los $a,b,c$ es positivo, ¿cómo podemos encontrar $a,b,c$ ?

Answer 1

WLOG asume $b,c<0$ , $a>0$ . Entonces $a^b$ y $b^c$ será fraccionario a menos que $a=1$ , $b=-1$ . Así que tenemos que encontrar $1\cdot (-1)^c \cdot c=p$ para $c<0$ . Desde $c$ es negativo, también debe ser impar para que $(-1)^c$ será negativo y todo el producto será positivo. Por lo tanto, $c$ puede ser el negativo de cualquier primo impar.