$G$ es nilpotente iff para cualquier % de subgrupos máximo $M$y $N$ $G$, $MN=NM$.

Question

Quiero demostrar que el grupo finito $G$ es nilpotent iff para cada subgrupo maximal de a$G$ como $M$ e $N$ , $MN=NM$.

Deje $G$ ser nilpotent. Ya que cada subgrupo maximal de a$G$ es normal en $G$, el resultado es claro.

Pero por lo contrario quiero mostrar la información de cada subgrupo maximal es normal en $G$ pero no sé cómo demostrarlo.

Answer 1

Por el contrario, supongamos que $G$ tiene la propiedad de que cada dos máximas subgrupos de $G$ permutar. En particular, esto implica que si $M$, $N$ son máximas subgrupos de $G$ entonces $MN$ es un subgrupo de $G$.

Deje $M$ ser un subgrupo maximal y supongamos que $M$ no es normal en $G$. A continuación, $M^g \neq M$ para algunos $g \in G$, lo $MM^g$ es un subgrupo de $G$ correctamente contengan $M$ e lo $MM^g =G$. Pero esto es imposible, ya que $HH^g$ es siempre una adecuada subconjunto de $G$, donde $H$ es un (no necesariamente máximo) subgrupo. Por lo tanto, cada subgrupo maximal de a$G$ es normal y por lo tanto $G$ es nilpotent.