Deje que$p,q$ sean números primos impares de modo que$p-q=4a.$ demuestre que$\Bigg(\dfrac{a}{p}\Bigg)=\Bigg(\dfrac{a}{q}\Bigg).$

Question

Deje que $p,q$ sean números primos impares de modo que $p-q=4a.$ demuestre que $\Bigg(\dfrac{a}{p}\Bigg)=\Bigg(\dfrac{a}{q}\Bigg).$

¿Alguien podría aconsejar sobre cómo probar la igualdad? Las sugerencias serán suficientes, gracias.

Answer 1

$\Big(\dfrac{a}{p}\Big)= \Big(\dfrac{4a}{p}\Big)=\Big(\dfrac{p-q}{p}\Big)=\Big(\dfrac{-q}{p}\Big) =\Big(\dfrac{-1}{p}\Big)\Big(\dfrac{q}{p}\Big)=(-1)^{\frac{p-1}{2}}\Big(\dfrac{q}{p}\Big)$

$\Big(\dfrac{a}{q}\Big)= \Big(\dfrac{p}{q}\Big)=(-1)^{\frac{p-1}{2} \cdot\frac{q-1}{2}}\Big(\dfrac{q}{p}\Big).$

Si $\dfrac{p-1}{2}$ es par, entonces hemos terminado. Si $\dfrac{p-1}{2}$ es impar, entonces $p \equiv 3 \ (\text{mod} \ 4) \implies q+4a \equiv 3 \ (\text{mod} \ 4) \implies q-1 \equiv 2 \ (\text{mod} \ 4) \implies \dfrac{q-1}{2}$ es impar.