En el Grupo de teoría de pruebas de lo que se entiende por "bien definido"

Question

¿Qué se entiende exactamente o que se requieren para una asignación de estar bien definida. Yo estaba leyendo el primer Homomorphism teorema (enlace) y la primera cosa que la prueba que hace es definir un mapa y encontrar si su bien definida. Intuitivamente tiene sentido, pero ¿cuáles son los requisitos para un mapa bien definido? Por ejemplo, en el enlace dado, entiendo que muestran una relación bien definida y más tarde se volvió a demostrar su inyectiva.

Qué es lo que tengo entendido erróneamente?

Soham

Answer 1

Una observación interesante es que "bien definido" básicamente es el recíproco de (tan estrechamente relacionadas a) "uno a uno". Que es:

Decimos que $\varphi$ está bien definido si $g=h$ implica que el $\varphi(g)=\varphi(h)$.

Decimos que $\varphi$ es uno-a-uno si $\varphi(g)=\varphi(h)$ implica que el $g=h$.

Por lo tanto, si estamos tratando de demostrar $\varphi$ es un uno-a-uno homomorphism (o tal vez incluso un isomorfismo), a veces podemos conseguir ese $g=h$ si y sólo si $\varphi(g)=\varphi(h)$, con doble implicaciones todo el camino, así que nos simultanously demostrar que $\varphi$ esté bien definido y uno-a-uno, en lugar de tratar con ellos en dos pasos separados. Que luego sale solo mostrando homomorphism (y en, si estamos tratando de demostrar isomorfismo). No siempre es tan simple-en ocasiones, necesitaremos un brillante truco para mostrar uno-a-uno, que no prolijamente se presta a la inversión y que muestra bien definida. Aún así, es una buena cosa a tener en cuenta como una posibilidad.

Answer 2

Supongamos que trato de definir un mapa de $f$$\Bbb Q$, el conjunto de los números racionales, a $\Bbb Z$, el conjunto de números enteros mediante el establecimiento $f\left(\frac{a}b\right)=a$; lo que es $f(1)$?

$1=\frac11$, lo $f(1)=f\left(\frac11\right)=1$.

Pero espera! $1=\frac22$, lo $f(1)=f\left(\frac22\right)=2$.

Y $1=\frac{100}{100}$, lo $f(1)=100$.

Obviamente esto no funciona: por mi "definición" $f(1)$ podría ser cualquier número entero. En otras palabras, mi supuesta definición en realidad no definir nada: $f(1)$ depende de la representación de $1$ como fracción de dos números enteros que yo uso, y nada en la "definición" me obliga a elegir una representación particular. Esto supone que la función no está bien definida.

Por otro lado, cada número racional $q$ puede ser únicamente representado en la forma $\frac{a}b$ donde$\gcd(a,b)=1$$b>0$. Me había definido $f(q)$ a ser el numberator $a$ de esta representación específica, $f$ podría haber sido una auténtica función: habría sido bien definido.

La comprobación de que un objeto matemático está bien definido es realmente sólo la comprobación de que es definido: que la pretendida definición de la realidad hace de forma inequívoca especificar el objeto.

Answer 3

Esto significa que "no depende de decisiones tomadas". En realidad, el "maestro" para este caso es la siguiente:

Deje $A, B$ grupos y $N$ un subgrupo normal de $A$. Si $f:A\to B$ es un homomorphism con $N$ contenida en su núcleo, entonces hay una único homomorphism $h\colon A/N\to B$ tal que $h(xN)= f(x)$ todos los $x\in A$.

Para hacer que la palabra "bien definido" aparecen, uno reformula de la siguiente manera: Queremos definir $h:A/N\to B$. Deje $X\in A/N$ ser un elemento arbitrario. Entonces existe un $x\in A$tal que $X=x N$. Set $h(X):=f(x)$. Esto está bien definida, es decir, no depende de la elección de $x$. Por si también se $x'N=X$ $x'=x n$ algunos $n\in N$, por lo tanto $f(x') = f(x)f(n)=f(x)$ porque $N$ está en el kernel.

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Tenga en cuenta que algunos autores erróneamente se utiliza el término "bien definida" cuando en realidad debería decir "definido" (como diciendo: "hemos definido un objeto y lo hicimos bien"). Por favor evitar este (ab)uso del término.

Answer 4

Supongamos que tiene una relación de equivalencia $\equiv$ que define clases de equivalencia $[a]=\{b | b\equiv a\}$.

Una función de $F$, el cual es definido por elementos, será bien definido, como una función de las clases de equivalencia si $F(a)=F(b)$ siempre que $a\equiv b$.

Answer 5

A menudo me explique esto a través de una analogía.

Imagine que usted tiene un montón de naranjas y se define una función que envía cada segmento de una naranja a una manzana. Como usted sabe, podemos describir una determinada naranja por la elección de uno de sus segmentos.

La pregunta es; ¿la función de hacer necesariamente una función sobre todo de las naranjas que está de acuerdo con la función en segmentos individuales? Recuerde que la definición de la función de las demandas que cada uno de orange tendría que ser enviado a un único apple, no podemos tener a una particular naranja de ser enviado a dos manzanas.

La respuesta a la anterior...no necesariamente. La única manera en que esto podría funcionar es si después de la elección de dos segmentos de la misma naranja obtener la misma salida de la función.

Esto es exactamente lo que está sucediendo aquí, usted puede describir una determinada coset por la elección de uno de sus representantes. Tiene una función de los representantes y han definido una nueva "función" en cosets. Igual que la anterior analogía, en orden para que esto sea una verdadera función en cosets debemos comprobar que después de la elección de dos representantes de la misma coset de obtener los mismos resultados.