¿Es correcto mi cálculo de Fourier?

Question

Este es mi tiempo de la función de dominio. Se me pide que encuentre la transformada de Fourier y calcular el valor cuando omega es cero. (Estoy usando $X(\omega)$ notación para la transformada de Fourier de x(t)).

\begin{align*} X(\omega) &= \int_{-1}^3 x(t) e^{-i\omega t}\, \mathrm{d}t \\ &= \int_{-1}^0 x(t) e^{-i\omega t}\, \mathrm{d}t + \int_{0}^1 x(t) e^{-i\omega t}\, \mathrm{d}t + \int_1^2 x(t) e^{-i\omega t}\, \mathrm{d}t + \int_2^3 x(t) e^{-i\omega t}\, \mathrm{d}t \\ &= \int_{-1}^0 2e^{-i\omega t}\, \mathrm{d}t + \int_{0}^1 (2 - t)e^{-i\omega t}\, \mathrm{d}t + \int_1^2 te^{-i\omega t}\, \mathrm{d}t + \int_2^3 2 e^{-i\omega t}\, \mathrm{d}t, \end{align*}

\begin{align*} X(\omega)=\frac{1+e^{-2i\omega}-2i\omega e^{j\omega}+2i\omega e^{-3i\omega}-2e^{-i\omega}}{\omega^2} \end{align*}

Pero después de sustituto $\omega=0$, toda la cosa de abajo hacia arriba. Es mi cálculo derecho?

Gracias!

Answer 1

si la transformada de fourier de $x(t)$ es $X(\omega)$

a continuación,

sabemos ,

área bajo la curva de la señal de $x(t) $ = valor de la transformada de fourier en $\omega =0 $

yo.e,

$\implies \displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}x(t) dt= X(0)$

$\implies X(0)=2.\left(2+\dfrac{3}{2}\right)=5 $

hay otra propiedad similar uno debe saber ,

el área bajo de la curva de $X(\omega)= 2\pi \times x(0)$ i.e,

$\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}X(\omega) d\omega=2\pi. x(0)$

para esta pregunta tuya

área bajo la curva de $X(\omega)= 2\pi . 2= 4\pi$

que factor adicional de $2\pi $ es debido a la definición de la Inversa de la transformada de Fourier