GR como una teoría gauge: allí ' conexión de spin s un valor de Lorentz, pero ¿qué tal una conexión valores de traducción?

Question

Dada una simetría interna del grupo, podemos medir mediante la promoción en el exterior derivado a su covariante de la versión:

$$ D = d+A, $$

donde $A=A^a T_a$ es una Mentira álgebra valorado de una forma conocida como la conexión (o medidor de campo) y $T$ el álgebra de los generadores.

Para el GR, que nos gustaría hacer lo mismo con el grupo de Poincaré. Pero el grupo de Poincaré no es simple, sino que se divide en las traducciones $P$ y transformaciones de Lorenz $J$. Yo tendría, por tanto, esperar dos especies de conexiones:

$$ D = d + B^un P_a + A^{ab} J_{ab}. $$

Pero la derivada covariante de la GR como generalmente se encuentran en los libros de texto es:

$$ \nabla_\mu = \partial_\mu +\frac{1}{2}(\omega^{\alpha \beta})_\mu J_{\alpha \beta}, $$

donde $\omega$ es el giro de la conexión. Se define para cualquier objeto que tiene definida una transformación en virtud de $J$, es decir, bajo las transformaciones de Lorentz, como spinors o tensores. Pero no hace ninguna mención de la traducción generador de $P$. Lo que pasó? No tengo este medidor de campo?

Answer 1

Uno puede hacer una de Poincaré-Mentira-Álgebra valores de Cartan de Conexión mediante el establecimiento de $$ \eta = \tau_a {\bf e}^{*} + \frac 12 \sigma^{ab} \omega_{ab} $$ donde $\tau_a$ e $\sigma^{ab}$ son la Mentira de álgebra generadores de la traducción y de la transformación de Lorentz, y ${\bf e}^{*a}= e_\mu^a \,dx^\mu$, $\omega_{ab}= \omega_{ab\mu}\,dx^\mu$ son los co-marco y conexión uno-formas. Luego de un cierto uso de la Poincaré Mentira álgebra muestra que la curvatura se descompone como
$$ F\equiv d\eta+ \eta\wedge \eta= \tau_a T^+\frac 12 \sigma^{ab} R_{ab}, $$ donde $T^a = d{\bf e}^{*a}+ {\omega^a}_b \wedge {\bf e}^{*b}$ es la torsión y la ${R^a}_b= d{\omega^a}_b+ {\omega^a}_c \wedge{\omega^c}_b $ la costumbre de curvatura de Riemann. Así, la torsión es visto como la traducción de la parte de la curvatura.

La gente va a hacer algún tipo de teoría de gauge de esto, pero no es un principio convencional-bundle teoría de gauge, y nunca he entendido cómo la física de los campos de convertirse en secciones de un asociado de paquete. Un estándar de referencia es los Comentarios de la Física Moderna, Vol 48, nº 3 (1976) teoría General de la Relatividad de giros y Torsiones, de la Fundación y de sus Perspectivas, por F W Hehl, P von de Heyde y G D Kerlick. Personalmente creo que su notación impenetrable, pero que es mi falla, supongo.

Answer 2

En 2+1 dimensiones de la relatividad general con la acción de Einstein–Hilbert con o sin
constante cosmológica es equivalente a una teoría de gauge con un grupo gauge uno de $\mathrm{ISO}(2,1)$, $\mathrm{SO}(3,1)$ o $\mathrm{SO}(2,2)$ (dependiendo de la presencia de la constante cosmológica y su signo) y puro de Chern–Simons acción.

El medidor de campo es una Mentira-álgebra valores de una forma $$ A_i= e^a_i P_a + \omega^a_i J_a,$$ donde $P_a$ son la traducción de los generadores y $J_a=\frac 12 \epsilon_{abc}J^{bc}$ son generadores de transformaciones de Lorenz.

Una buena referencia para este es un papel:

• Witten, E. (1988). $2+1$ dimensiones de la gravedad como una exactamente solubles del sistema. La Física Nuclear B, 311(1), 46-78, doi, pdf online.

Este documento también contiene el siguiente pasaje, en el caso de cuatro dimensiones:

En los últimos veinte años, muchos físicos han querido combinar el vierbein $e_i{}^a$ y el giro de la conexión de $\omega_i{}^a{}_b$ en un medidor de campo del grupo de $\mathrm{ISO}(d - 1,1)$. La idea es que el spin de conexión sería el medidor de campo para la transformación de Lorentz, y el vierbein sería el medidor de campo para las traducciones. Uno intenta, entonces, a la afirmación de que "la relatividad general es una teoría de gauge de $\mathrm{ISO}(d - 1,1)$". Sin embargo, no siempre ha sido algo rebuscado sobre los intentos de interpretar la relatividad general como una teoría de gauge en ese sentido estrecho. Uno de los aspectos que el problema es que en cuatro dimenisons, por ejemplo, el Einstein de acción (2.2) es de la forma general de la $\int e \wedge e \wedge (d \omega + \omega^2)$. Si interpretamos $e$ e $\omega$ como medidor de campos, debemos comparar esto con un medidor de acción $\int A \wedge A \wedge (dA + A^2)$. Pero no hay tal acción en la teoría de gauge. Así que no podemos esperar que las cuatro dimensiones de la gravedad sería una teoría de gauge en ese sentido.