¿Se puede añadir la negación de una afirmación verdadera indemostrable como axioma?

Question

Deje $S$ ser una declaración que es improbable pero cierto en un sistema axiomático $T$. Si $T$ es consistente, entonces la adición de $S$ como un axioma de la $T$ mantiene el sistema consistente. Pero, ¿qué acerca de la adición de $\neg S$ como un axioma?

Por ejemplo, la hipótesis continua es no demostrable en ZFC, y podemos añadir o su negación, como un axioma sin problema.

Sin embargo, si la conjetura de Goldbach es improbable, debe ser cierto, porque si fuera falso nos gustaría ser capaz de encontrar un contra-ejemplo, y comprobar que es un contra-ejemplo. Por lo tanto, no seríamos capaces de añadir la negación de la conjetura de Goldbach como un axioma, si es que no demostrable. ¿Esto implica que es comprobable? O es normal esto?

Answer 1

Sí, usted puede agregar la negación de cualquier improbable declaración como un nuevo axioma de la teoría y aún así obtener una coherente teoría de salir de ella.

(Si la extendida teoría resultó ser una contradicción, esto directamente ser una prueba de la original "improbable" declaración", que por lo tanto no sería improbable, después de todo).

Si el nuevo axioma pasa a ser falsa en la interpretación de la teoría que tenía en mente (como el real $\mathbb N$), esta interpretación no será un modelo más, por supuesto. La teoría ampliada tendrá otros modelos no estándar de los modelos de la teoría original.