¿Es un subgrupo característico en su normalizador?

Question

Sea $G$ sea un grupo finito y $H \subseteq G$ . ¿Es cierto que $H$ es un subgrupo característico de $N_{G}(H)$ ? Sabiendo que "el algo" subgrupo debe ser característica, creo que debe ser cierto. ¡Cualquier comentario será apreciado!

Answer 1

Sea $G=C_p\times C_p$ y $H$ cualquier subgrupo de orden $p$ . Entonces $N_G(H)=G$ pero $H$ no es característico en $G$ .

Answer 2

El normalizador de cualquier subgrupo de un grupo abeliano es el grupo entero, pero hay subgrupos de grupos abelianos que no son característicos.

Answer 3

También hay una respuesta positiva a la pregunta.

Si $H \leq G$ con gcd $(|H|, |G:H|)=1$ entonces $H$ char $N_G(H)$ . (¡Los ejemplos son subgrupos Sylow!). La afirmación se deduce del hecho de que un subgrupo normal que tiene orden e índice coprimo, debe ser característico.