Demuestra que esta clase de curvas tiene velocidad y curvatura constantes

Question

Dejemos que $\gamma: (a,b) \rightarrow \mathbb{R}^2$ sea una curva regular suave tal que $\forall s,t \in (a,b)$ , $||\gamma(s)-\gamma(t)||$ es una función de valor real no negativa que depende únicamente de $|t-s|$ .

Demostrar que $\gamma(t)$ tiene velocidad y curvatura constantes.

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Aquí está mi intento: De alguna manera tengo que utilizar la restricción dada de la función $||\gamma(t)- \gamma(s)||$ . Como esto actúa sobre $(a,b)^2$ Quiero manejar una función más agradable definida como sigue: $$f(h):= ||\gamma(s+h)-\gamma(s)||^2$$ para $s\in(a,b)$ arreglado. Tomando la derivada con respecto a $h$ , denotando con $\langle \cdot , \cdot \rangle$ el producto interior euclidiano sobre $\mathbb{R}^2$

$f'(h)= \frac{d}{dh}\langle \gamma(s+h) - \gamma(s) , \gamma(s+h) - \gamma(s) \rangle = \frac{d}{dh} [\langle \gamma(s+h), \gamma(s+h) \rangle + \langle \gamma(s), \gamma(s) \rangle -2 \langle \gamma(s+h), \gamma(s) \rangle ] = 2[\langle \frac{d}{dh}\gamma(s+h), \gamma(s+h) \rangle - \langle \frac{d}{dh}\gamma(s+h), \gamma(s) \rangle] = 2[\langle \frac{d}{dh}\gamma(s+h), \gamma(s+h) - \gamma(s) \rangle ]$

Así que $f'(0)=0 \quad \forall s$

Creo que esto es de alguna manera útil, pero no veo cómo continuar desde aquí.

Answer 1

Para la velocidad basta con señalar que $$|\gamma'(s)|=\lim_{h\to0+}{|\gamma(s+h)-\gamma(s)|\over h}\ .$$ Aquí la RHS es independiente de $s$ por la suposición de $\gamma$ .

Para la curvatura tenemos que extraer el valor de $\kappa(s)$ de las mediciones de distancia. Por lo tanto, podemos suponer que $|\gamma'(s)|\equiv1$ .

Considere la siguiente situación modelo: $s\mapsto\gamma(s)=\bigl(x(s),y(s)\bigr)$ es una curva suave parametrizada con $$x(0)=y(0)=0,\quad \dot x(0)=1,\quad \dot y(0)=0,\quad \theta(0)=0\ ,$$ donde $\theta(s):={\rm arg}\bigl(\dot x(s),\dot y(s)\bigr)$ es el argumento de la dirección tangente. Entonces se tiene $$\eqalign{\dot x&=\cos\theta,\quad\ddot x=-\sin\theta\cdot\dot\theta,\quad x^{...}=-\cos\theta\cdot\dot\theta^2-\sin\theta\cdot\ddot\theta,\cr\dot y&=\sin\theta,\quad \ddot y=\cos\theta\cdot\dot\theta\cr}$$ de forma idéntica en $s$ y por lo tanto $$\ddot x(0)=0,\quad x^{...}(0)=-\kappa^2,\qquad \ddot y(0)=\kappa\ ,$$ donde $\kappa:=\dot\theta(0)$ es la curvatura de $\gamma$ en $(0,0)$ . El teorema de Taylor da entonces $$x(s)=s-{\kappa^2\over6}s^3+O(s^4),\quad y(s)={\kappa\over2}s^2+O(s^3)\qquad(s\to0)\ .$$ De ello se desprende que $$|\gamma(s)|^2=\left(s^2-{\kappa^2\over3}s^4+O(s^5)\right)+\left({\kappa^2\over4}s^4+O(s^5)\right)=s^2-{\kappa^2\over12}s^4+O(s^5)\qquad(s\to0)\ ,$$ para que $$\lim_{s\to0}{|\gamma(s)|^2-s^2\over s^4}=-{\kappa^2\over12}\ .$$ Volver a nuestra curva especial dada $\gamma$ esto significa que $$-{\kappa^2(s)\over12}=\lim_{h\to0}{\bigl|\gamma(s+h)-\gamma(s)\bigr|^2-h^2\over h^4}\ .$$ Aquí la RHS es independiente de $s$ Por lo tanto $s\mapsto\kappa^2(s)$ es constante. Por continuidad esto implica que $s\mapsto\kappa(s)$ es constante.

Answer 2

Su derivado es correcto pero no es esto lo que debe mirar. Fro el problema que quieres $\parallel \gamma^\prime(s) \parallel = cst$ . Por lo tanto, debe calcular $$\frac{\langle \gamma(s+h)-\gamma(s), \gamma(s+h)-\gamma(s) \rangle}{h^2}$$ como $h \to 0$ .